Giải bài 3.16 trang 44 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

5 tháng trước

Đề bài

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) cosAMB^+cosAMC^=0

b) MA2+MB2AB2=2.MA.MB.cosAMB^MA2+MC2AC2=2.MA.MC.cosAMC^

c) MA2=2(AB2+AC2)BC24 (công thức đường trung tuyến).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Giá trị lượng giác của hai góc bù nhau:

cosx=cos(180ox)

b) Định lí cos: a2=b2+c22bccosAcho tam giác tương ứng.

c) Suy ra từ b, lưu ý rằng: {cosAMC^+cosAMB^=0MB=MC=BC2

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có: AMB^+AMC^=180o

cosAMB^=cosAMC^

Hay cosAMB^+cosAMC^=0

b) Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta có:

 AB2=MA2+MB22MA.MBcosAMB^MA2+MB2AB2=2MA.MBcosAMB^(1)

Tương tự, Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta được:

AC2=MA2+MC22MA.MCcosAMC^MA2+MC2AC2=2MA.MCcosAMC^(2)

c) Từ (1), suy ra MA2=AB2MB2+2MA.MBcosAMB^

Từ (2), suy ra MA2=AC2MC2+2MA.MCcosAMC^

Cộng vế với vế ta được:

2MA2=(AB2MB2+2MA.MBcosAMB^)+(AC2MC2+2MA.MCcosAMC^)

2MA2=AB2+AC2MB2MC2+2MA.MBcosAMB^+2MA.MCcosAMC^

Mà: MB=MC=BC2 (do AM là trung tuyến)

2MA2=AB2+AC2(BC2)2(BC2)2+2MA.MBcosAMB^+2MA.MBcosAMC^

2MA2=AB2+AC22.(BC2)2+2MA.MB(cosAMB^+cosAMC^)

2MA2=AB2+AC2BC22

MA2=AB2+AC2BC222MA2=2(AB2+AC2)BC24 (đpcm)

Cách 2:

Theo ý a, ta có: cosAMC^=cosAMB^

Từ đẳng thức (1): suy ra cosAMB^=MA2+MB2AB22.MA.MB

 cosAMC^=cosAMB^=MA2+MB2AB22.MA.MB

Thế cosAMC^vào biểu thức (2), ta được:

MA2+MC2AC2=2MA.MC.(MA2+MB2AB22.MA.MB)

Lại có: MB=MC=BC2 (do AM là trung tuyến)

MA2+(BC2)2AC2=2MA.MB.(MA2+MB2AB22.MA.MB)MA2+(BC2)2AC2=(MA2+MB2AB2)MA2+(BC2)2AC2+MA2+(BC2)2AB2=02MA2AB2AC2+BC22=02MA2=AB2+AC2BC22MA2=AB2+AC2BC222MA2=2(AB2+AC2)BC24

Bạn muốn hỏi điều gì?
Đặt Câu Hỏi

Chúng tôi sử dụng AI và sức mạnh của cộng đồng để giải quyết câu hỏi của bạn

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"