Giải bài 4.16 trang 65 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm M(1; 3), N(4; 2)

a) Tính độ dài các đoạn thẳng OM, ON, MN.

b) Chứng minh rằng tam giác OMN vuông cân.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: M(1; 3) và N (4; 2)

\( \Rightarrow \overrightarrow {OM} (1;3),\;\,\overrightarrow {ON} (4;2),\;\overrightarrow {MN}  = (4 - 1;2 - 3) = (3; - 1)\)

\( \Rightarrow OM = \left| {\overrightarrow {OM} } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2}}  = \sqrt {10} ,\)\(ON = \left| {\overrightarrow {ON} } \right| = \sqrt {{4^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 5 ,\)\(MN = \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {10} \)

b) Dễ thấy: \(OM = \sqrt {10}  = MN\)\( \Rightarrow \Delta OMN\) cân tại M.

Lại có: \(O{M^2} + M{N^2} = 10 + 10 = 20 = O{N^2}\)

\( \Rightarrow \) Theo định lí Pythagore đảo, ta có \(\Delta OMN\)vuông tại M.

Vậy \(\Delta OMN\) vuông cân tại M.