Giải mục 1 trang 31, 32 SGK Toán 10 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ1

Cho vectơ \(\overrightarrow n  \ne \overrightarrow 0 \) và điểm A. Tìm tập hợp những điểm M sao cho \(\overrightarrow {AM} \) vuông góc với \(\overrightarrow n \).

Lời giải chi tiết:

Tập hợp tất cả những điểm M để \(\overrightarrow {AM} \) vuông góc với \(\overrightarrow n \) là đường thẳng qua A và vuông góc với giá của vectơ \(\overrightarrow n \).

HĐ2

Trong mặt phẳng tọa độ, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {{x_o};{y_o}} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n {\rm{ }} = \left( {a;{\rm{ }}b} \right)\). Chứng minh rằng điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc \(\Delta \) khi và chỉ khi:

\(a\left( {x - {x_o}} \right) + b\left( {y - {y_o}} \right) = 0\).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( {x - {x_o};y - {y_o}} \right),\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\)

\( M \in \Delta \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  \bot \overrightarrow n \)

Hay \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow n  = 0 \Leftrightarrow a\left( {x - {x_o}} \right) + b\left( {y - {y_o}} \right) = 0\) (ĐPCM).

Luyện tập 1

Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác có ba đỉnh A(1; 3), B(-1;- 1), C(5 - 3). Lập phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A của tam giác ABC.

Phương pháp giải:

\(\overrightarrow {BC} \) là vecto pháp tuyến của đường thẳng AH.

Lời giải chi tiết:

Đường cao AH đi qua điểm \(A\left( { - 1;5} \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{AH}}}  = \overrightarrow {BC}  = \left( {4; - 2} \right)\).

Phương trình tổng quát của AH là \(4\left( {x + 1} \right) - 2\left( {y - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - y + 7 = 0\).

Luyện tập 2

Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyển của đường thẳng \(\Delta :y = 3x + 4\).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\Delta :y = 3x + 4 \Leftrightarrow \Delta :3x - y + 4 = 0\)

Vậy vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) là \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 1} \right)\).