Giải bài 3 trang 78 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo

Cho tam giác ABC có $a=8,b=10,c=13.$ Tính các góc $\hat{A},\hat{B},\hat{C}.$

LG a

a) Tam giác ABC có góc tù không?

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ quả của định lí cosin: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac};\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$

Từ đó suy ra các góc $\hat{A},\hat{B},\hat{C}.$

Lời giải chi tiết:

Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:

 $\begin{array}{l}\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\\ \Rightarrow \{\begin{array}{c}\cos A=\frac{{10}^2+{13}^2-8^2}{2.10.13}=\frac{41}{52}>0;\\ \cos B=\frac{8^2+{13}^2-{10}^2}{2.8.13}=\frac{133}{208}>0\\ \cos C=\frac{8^2+{10}^2-{13}^2}{2.8.10}=-\frac{1}{32}<0\end{array}\end{array}$

$\Rightarrow \hat{C}\approx 91,{79}^{\circ }>{90}^{\circ }$, tam giác ABC có góc C tù.

LG b

b) Tính độ dài trung tuyến AM, diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Phương pháp giải:

+) Tính AM:  Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACM:

$A{M}^2=A{C}^2+C{M}^2-2.AC.CM.\cos C$

+) Tính diện tích:

Áp dụng công thức heron:  $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

+) Tính R:  Áp dụng định lí sin: $\frac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\frac{c}{2\sin C}$

Lời giải chi tiết:

+) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACM, ta có:

$\begin{array}{l}A{M}^2=A{C}^2+C{M}^2-2.AC.CM.\cos C\\ \iff A{M}^2=8^2+5^2-2.8.5.\left(-\frac{1}{32}\right)=91,5\\ \Rightarrow AM\approx 9,57\end{array}$

+) Ta có: $p=\frac{8+10+13}{2}=15,5$.

Áp dụng công thức heron, ta có: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{15,5.(15,5-8).(15,5-10).(15,5-13)}\approx 40$

+) Áp dụng định lí sin, ta có:

$\frac{c}{\sin C}=2R\Rightarrow R=\frac{c}{2\sin C}=\frac{13}{2.\sin 91,{79}^{\circ }}\approx 6,5$

LG c

c) Lấy điểm D đối xứng với A qua C.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác BCD:

$B{D}^2=C{D}^2+C{B}^2-2.CD.CB.\cos \widehat{BCD}$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\widehat{BCD}={180}^{\circ }-91,{79}^{\circ }=88,{21}^{\circ }$; $CD=AC=8$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác BCD, ta có:

$\begin{array}{l}B{D}^2=C{D}^2+C{B}^2-2.CD.CB.\cos \widehat{BCD}\\ \iff B{D}^2=8^2+{10}^2-2.8.10.\cos 88,{21}^{\circ }\approx 159\\ \Rightarrow BD\approx 12,6\end{array}$