Giải mục 2 trang 28, 29 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 2

Tại một trạm quan sát có sẵn 5 lá cờ màu đỏ, trắng, xanh, vàng và cam (kí hiệu Đ, T, X, V, C). Khi cần báo một tín hiệu, người ta chọn ba lá cờ và cắm vào 3 vị trí sẵn thành một hàng (Xem hình 4)

a) Hãy chỉ ra ít nhất 4 cách chọn và cắm cờ để báo 4 tín hiệu khác nhau

b) Bằng cách này, có thể báo nhiều nhất bao nhiêu tín hiệu khác nhau?

Phương pháp giải:

a) Chọn bất kì 3 lá cờ trong đó và sắp xếp chúng ở các vị trí khác nhau

b) Sử dụng quy tắc nhân

Lời giải chi tiết:

a)  Chọn 3 cờ đỏ, trắng và xanh ta có 3 cách cắm để có 4 tín hiệu khác nhau là: ĐTX, ĐXT, TĐX, TXĐ

b) Việc cắm cờ để báo tín hiệu trên bao gồm 3 công đoạn

Công đoạn 1: Chọn cờ để cắm vào vị trí thứ nhất, có 5 cách chọn trong 5 màu khác nhau

Công đoạn 2: Chọn cờ để cắm vào vị trí thứ 2, có 4 cách chọn trong 4 màu còn lại

Công đoạn 3: Chọn cờ để cắm vào vị trí cuối cùng, có 3 cách chọn trong 3 màu còn lại

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách cắm cờ để báo tín hiệu nhiều nhất là:

                             \(5.4.3 = 60\) (cách)

Thực hành 2

Từ 7 chữ số số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 lập được các số có 3 chữ số đôi một khác nhau

a) Có thể lập được bao nhiêu số như vậy?

b) Trong các số đó có bao nhiêu số lẻ?

Phương pháp giải:

a) Sử dụng chỉnh hợp: chọn 3 chữ số từ 7 chữ số đã cho và sắp xếp chúng

b)      Bước 1: Chọn chữ số cuối cùng là 1 số lẻ

          Bước 2: Sử dụng chỉnh hợp chọn 2 chữ số từ 7 chữ số đã cho và sắp xếp chúng cho 2 vị trí chữ số hàng trăm và hàng chục

          Bước 3: Sử dụng quy tắc nhân

Lời giải chi tiết:

a) Mỗi số có 3 chữ số đôi một khác nhau lập được từ 7 chữ số đã cho là một chỉnh hợp chập 3 của 7 chữ số. Do đó, số các số lập được là

                             \(A_7^3 = 7.6.5 = 210\) (số)

b) Việc lập ra được một số lẻ phải qua 2 công đoạn

Công đoạn 1: Chọn chữ số hàng đơn vị là chữ số lẻ, có 4 cách chọn (1; 3; 5 hoặc 7)

Công đoạn 2: Chọn 2 chữ số bất kì trong 6 chữ số còn lại và sắp xếp chúng cho vị trí chữ số hàng trăm và hàng chục, mỗi số như vậy là một chỉnh hợp chập 2 của 6 phần tử, nên số các số được lập ra là:                 \(A_6^2 = 6.5 = 30\) (cách)

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số các số có 3 chữ số lập được từ 7 chữ số đã cho là số lẻ là:            \(4.30 = 120\) (số)