Giải bài 7 trang 74 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Lập phương trình đường tròn trong các trường hợp sau:

a) Có tâm $I(-2;4)$ và bán kính bằng 9

b) Có tâm $I(1;2)$ và đi qua điểm $A(4;5)$

c) Đi qua hai điểm $A(4;1),B(6;5)$ và có tâm nằm trên đường thẳng $4x+y-16=0$

d) Đi qua gốc tọa độ và cắt 2 trục tọa độ tại các điểm có hoành độ a và tung độ là b

Lời giải chi tiết

a) Ta có phương trình đường tròn là $(C_1):{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=81$

b) Ta có: $\overrightarrow{IA}=(3;3)\Rightarrow IA=3\sqrt{2}=R$

Suy ra phương trình đường tròn là; $C_2:{\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=18$

c) Vì tâm đường tròn nằm trên đường thẳng $4x+y-16=0$ nên có tọa độ $I\left(a;16-4a\right)$

Ta có: $IA=\sqrt{{\left(a-4\right)}^2+{\left(16-4a-1\right)}^2},IB=\sqrt{{\left(a-6\right)}^2+{\left(16-4a-5\right)}^2}$

A, B thuộc đường tròn nên $IA=IB\Rightarrow \sqrt{{\left(a-4\right)}^2+{\left(16-4a-1\right)}^2}=\sqrt{{\left(a-6\right)}^2+{\left(16-4a-5\right)}^2}$

$\begin{array}{l}\Rightarrow {\left(a-4\right)}^2+{\left(16-4a-1\right)}^2={\left(a-6\right)}^2+{\left(16-4a-5\right)}^2\\ \Rightarrow {\left(a-4\right)}^2+{\left(15-4a\right)}^2={\left(a-6\right)}^2+{\left(11-4a\right)}^2\\ \Rightarrow -28a=-84\Rightarrow a=3\end{array}$

Suy ra tâm đường tròn là $I(3;4)$, bán kính $R=IA=\sqrt{10}$

Phương trình đường tròn trên là $(C_3):{\left(x-3\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=10$

d) Giả sử phương trình đường tròn có dạng $x^2+y^2-2mx-2ny+p=0$ (với tâm $I(m;n),R=\sqrt{m^2+n^2-p}$)

Đường tròn đi qua gốc tọa độ và cắt 2 trục tọa độ tại các điểm có hoành độ a và tung độ là b nên ta có hệ phương trình:

Ta có điều kiện $a,b\ne 0$, vì khi bằng 0 thì trùng với gốc tọa độ

$\{\begin{array}{l}{0}^2+0^2-2m.0-2n.0+p=0\\ a^2+0^2-2ma-2n.0+p=0\\ 0^2+b^2-2m.0-2nb+p=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}p=0\\ a^2-2ma=0\\ b^2-2nb=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}p=0\\ m=\frac{a}{2}\\ n=\frac{b}{2}\end{array}$

Vậy phương trình chính tắc của đường tròn trên là $x^2+y^2-ax-by=0$