Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto - SGK Toán 10 Cánh diều

I. ĐỊNH NGHĨA

1. Tích vô hướng của hai vecto có dùng điểm đầu

+ $(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$ là góc giữa hai tia OA, OB.

+ Tích vô hướng $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=|\overrightarrow{OA}|.|\overrightarrow{OB}|.\cos (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$

2. Tích vô hướng của hai vecto tùy ý

Cho hai vecto $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$. Lấy điểm O bất kì, vẽ $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$.Khi đó

+ $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})$.

+ $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|.|\overrightarrow{b}|.\cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$

* Chú ý:

+) $(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a})$

+) $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{0}\right)=\alpha$ tùy ý, với $0^{\circ }\le \alpha \le {180}^{\circ }$

+) $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{v}\right)={90}^{\circ }\iff \overrightarrow{a}\mathrm{\perp }\overrightarrow{b}$. Đặc biệt: $\overrightarrow{0}\mathrm{\perp }\overrightarrow{a}\mathrm{\forall }\overrightarrow{a}$

II. TÍCH CHẤT

Cho 3 vecto $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ bất kì và mọi số thực k, ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}\\ \overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}\\ \left(k\overrightarrow{u}\right).\overrightarrow{v}=k.\left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)=\overrightarrow{u}.\left(k\overrightarrow{v}\right)\end{array}$

III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG

1. Tính độ dài đoạn thẳng

$A{B}^2={\left|\overrightarrow{AB}\right|}^2={\overrightarrow{AB}}^2$

2. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

$AB\mathrm{\perp }CD\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=0$