Giải bài 4.19 trang 54 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho tam giác \(ABC.\)

a)      Tìm điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

b)     Xác định điểm \(N\) thỏa mãn \(4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

Lời giải chi tiết

a)      Giả sử tìm được điểm \(M\) sao cho \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\) và \(J\) là trung điểm của cạnh \(CI\).

Ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \;\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB}  + 2\overrightarrow {MC}  = 2\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {MC}  = 4\overrightarrow {MJ} \)

Mặt khác \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \) \(4\overrightarrow {MJ}  = \overrightarrow 0 \,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow {MJ}  = \overrightarrow 0 \,\, \Rightarrow \,\,M \equiv J\)

Vậy \(M\) là trung điểm của \(CI\).

b)     Giả sử tìm được điểm \(N\) thỏa mãn \(4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

Gọi \(K\) là trung điểm của \(AC\).

Ta có: \(4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = 2\left( {\overrightarrow {NA}  - \overrightarrow {NB} } \right) + \left( {\overrightarrow {NA}  + \overrightarrow {NC} } \right) + \overrightarrow {NA} \)

                                                     \(\begin{array}{l} = 2\overrightarrow {BA}  + \left( {\overrightarrow {NK}  + \overrightarrow {KB}  + \overrightarrow {NK}  + \overrightarrow {KC} } \right) + \overrightarrow {NA} \\ = 2\overrightarrow {BA}  + 2\overrightarrow {NK}  + \overrightarrow {NA} \end{array}\)

Gọi \(M\) là điểm thỏa mãn \(2\overrightarrow {MK}  + \overrightarrow {MA}  = 0\)

Khi đó: \(2\overrightarrow {NK}  + \overrightarrow {NA}  = 2\left( {\overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MK} } \right) + \overrightarrow {NM}  + \overrightarrow {MA}  = 3\overrightarrow {NM} \)

Do đó \(4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = 2\overrightarrow {BA}  + 3\overrightarrow {NM} \)

Mặt khác \(4\overrightarrow {NA}  - 2\overrightarrow {NB}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow 0 \)

\( \Rightarrow \) \(2\overrightarrow {BA}  + 3\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {NM}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \)    (1)

Lấy điểm \(P\) thuộc cạnh \(AB\) sao cho \(\overrightarrow {AP}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \)    (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(\overrightarrow {NM}  = \overrightarrow {AP} \)

\( \Rightarrow \) tứ giác \(APMN\) là hình bình hành

Vậy điểm \(N\) cần tìm là đỉnh thứ tư của hình bình hành \(APMN\).