Giải bài 4.24 trang 58 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho hai điểm $M(-2;1)$ và $N(4;5).$

a) Tìm tọa độ của điểm $P$ thuộc $Ox$ sao cho $PM=PN.$

b) Tìm tọa độ của điểm $Q$ sao cho $\overrightarrow{MQ}=2\overrightarrow{PN}.$

c) Tìm tọa độ của điểm $R$ thỏa mãn $\overrightarrow{RM}+2\overrightarrow{RN}=\overrightarrow{0}.$ Từ đó suy ra $P,Q,R$ thẳng hàng.

Lời giải chi tiết

a)  Vì điểm $P$ thuộc $Ox$ nên tọa độ điểm $P$ là: $P(x;0)$

Ta có: $PM=PN\iff \left|\overrightarrow{PM}\right|=\left|\overrightarrow{PN}\right|$

        $\begin{array}{l}\iff \sqrt{{\left(x+2\right)}^2+{\left(0-1\right)}^2}=\sqrt{{\left(x-4\right)}^2+{\left(0-5\right)}^2}\\ \iff \sqrt{x^2+4x+4+1}=\sqrt{x^2-8x+16+25}\\ \iff x^2+4x+5=x^2-8x+41\\ \iff 12x=36\iff x=3\end{array}$

Vậy $P(3;0)$

b) Gọi tọa độ điểm $Q$ là: $Q(x;y)$

Ta có: $\overrightarrow{MQ}=2\overrightarrow{PN}\iff (x+2;y-1)=2(4-3;5-0)$

 $\begin{array}{l}\iff \left(x+2;y-1\right)=(2;10)\\ \iff \{\begin{array}{c}x+2=2\\ y-1=10\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=0\\ y=11\end{array}\end{array}$

Vậy $Q(0;11)$

c) Gọi tọa độ điểm $R$ là: $R(x;y)$

Ta có: $\overrightarrow{RM}+2\overrightarrow{RN}=\overrightarrow{0}\iff \left(-2-x;1-y\right)+2\left(4-x;5-y\right)=\left(0;0\right)$

 $\begin{array}{l}\iff \left(-2-x;1-y\right)+\left(8-2x;10-2y\right)=\left(0;0\right)\\ \iff \left(6-3x;11-3y\right)=\left(0;0\right)\\ \iff \{\begin{array}{c}6-3x=0\\ 11-3y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{c}x=2\\ y=\frac{11}{3}\end{array}\end{array}$

Vậy $R\left(2;\frac{11}{3}\right)$

Ta có: $\overrightarrow{PQ}=\left(-3;11\right),\overrightarrow{PR}=\left(-1;\frac{11}{3}\right)$ $\Rightarrow$ $\overrightarrow{PQ}$ và $\overrightarrow{PR}$ cùng phương

$\Rightarrow$ $P,Q,R$ thẳng hàng