Giải bài 6.62 trang 27 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Trong Vật lí ta biết rằng, khi một vật được ném xiên với vận tốc ban đầu v₀, góc ném hợp với phương ngang Ox một góc $\alpha$, nếu ta bỏ qua sức cản của không khí và gió, vật chỉ chịu tác dụng của trọng lực với gia tốc trọng trường $g\approx 9,8$ m/s², thì độ cao y (so với mặt đất) của vật phụ thuộc vào khoảng cách theo phương ngang x (tính đến mặt đất tại điểm ném) theo một hàm số bậc hai cho bởi công thức

$y=\frac{-g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$

Như vậy quỹ đạo chuyển động của vật là một phần của đường parabol. Hãy xác định

a) Các hệ số a, b và c của hàm số bậc hai này

b) Độ cao lớn nhất mà vật có thể đạt được

c) Giả sử vận tốc ban đầu v₀ không đổi. Từ kết quả câu b) hãy xác định góc ném $\alpha$ để độ cao của vật đạt giá trị lớn nhất

d) Một quả bóng được đá từ mặt đất lên cao với vận tốc ban đầu v₀ = 20 m/s và góc đá so với phương ngang là 45⁰. Khi quả bóng ở độ cao trên 5 m thì khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí đá bóng nằm trong khoảng nào (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Lời giải chi tiết

a) Hàm số bậc hai $y=\frac{-g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$ có các hệ số:

$a=\frac{-g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }<0$;         $b=\tan \alpha$;    c = 0

b) Tam thức bậc hai $\frac{-g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }{x}^2+x\tan \alpha$ có $\mathrm{\Delta }={\tan }^2\alpha$

$\Rightarrow$ Tung độ đỉnh của parabol là $-\frac{\mathrm{\Delta }}{4a}=\frac{{\tan }^2\alpha }{\frac{4g}{2v_0^2{\cos }^2\alpha }}=\frac{v_0^2{\tan }^2\alpha .{\cos }^2\alpha }{2g}=\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}$

Vậy độ cao lớn nhất mà vật có thể đạt được là $\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}$ m

c) $\frac{v_0^2{\sin }^2\alpha }{2g}\le \frac{v_0^2}{2g}$ $\Rightarrow y_{max}=\frac{v_0^2}{2g}$ khi $\sin \alpha =1\iff \alpha ={90}^0$

Vậy với góc ném $\alpha ={90}^0$ thì độ cao của vật đạt GTLN

d) Với v₀ = 20 m/s, $\alpha ={45}^0$, $g=9,8$ m/s² ta có:

$y=\frac{-9,8}{{2.20}^2.{\cos }^2{45}^0}{x}^2+x.\tan {45}^0\iff y=-\frac{49}{2000}{x}^2+x$

Theo giả thiết, $y>5\iff -\frac{49}{2000}{x}^2+x-5>0\iff 5,83<x<34,98$

Vậy khi quả bóng ở độ cao trên 5 m thì khoảng cách theo phương ngang từ vị trí của quả bóng đến vị trí đá bóng nằm trong khoảng $x\in (5,83;34,98)$ mét.