Giải bài 7.34 trang 46 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Cho parabol \(\left( P \right)\) có phương trình \({y^2} = 16x\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng bất kì đi qua tiêu điểm F của \(\left( P \right)\) và không trùng với trục hoành. Chứng minh rằng \(\Delta \) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt A, B, đồng thời tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi

Lời giải chi tiết

Gọi vecto chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {a;b} \right)\). Vì \(\Delta \) đi qua điểm \(F\left( {4;0} \right)\) và \(\Delta \) không trùng với trục \(Ox\) nên ta có \(b \ne 0\). Phương trình tham số của \(\Delta \):

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + at\\y = 0 + bt = bt\end{array} \right.\)

+ \(\Delta  \cap \left( P \right) \Rightarrow {\left( {bt} \right)^2} = 16\left( {4 + at} \right) \Rightarrow {b^2}{t^2} - 16at - 64 = 0\)

+ Phương trình (1) có \(\Delta ' = 64{a^2} + 64{b^2} > 0\) (do \(b \ne 0\)) suy ra phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt. Vậy \(\Delta \) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt A, B

+ Gọi \(A\left( 4 + a{t_1};{ b{t _1}} \right),B\left( {4 + a{t_2};b{t_2}} \right)\) trong đó \({t_1},{t_2}\) là hai nghiệm của phương trình (1). Ta có: \(d\left( {A,Ox} \right).d\left( {B,Ox} \right) = \frac{{\left| {b{t_1}} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }}.\frac{{\left| {b{t_2}} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \left| {{b^2}{t_1}{t_2}} \right|\)

+ Theo định lí Vi-ét, ta có \({t_1}{t_2} = \frac{{ - 64}}{{{b^2}}} \Rightarrow d\left( {A,Ox} \right).d\left( {B,Ox} \right) = \left| {{b^2}.\frac{{ - 64}}{{{b^2}}}} \right| = 64\)

\( \Rightarrow \) Tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi