Giải bài 4 trang 46 sách bài tập toán 10 - Chân trời sáng tạo

2024-09-14 10:31:01

Đề bài

Tìm khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = \frac{1}{{ - x - 5}}\)

b) \(f\left( x \right) = \left| {3{\rm{x}} - 1} \right|\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1: Xác định tập xác định của hàm số

Bước 2: Lấy \({x_1},{x_2}\) tùy ý thuộc tập xác định, thay vào f(x) tính và so sánh biết:

Với hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên khoảng (a; b) thì ta có

+) Hàm số đồng biến trên khoảng (a; b) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {a;b} \right),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\)

+) Hàm số ngịch biến trên khoảng (a; b) nếu \(\forall {x_1},{x_2} \in \left( {a;b} \right),{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)

Bước 3: Kết luận

Lời giải chi tiết

a) Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{ - x - 5}}\) xác định khi \( - x - 5 \ne 0 \Rightarrow x \ne  - 5\) nên \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 5} \right\}\)

Lấy \({x_1},{x_2}\) là hai số tùy ý thuộc mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 5} \right),\left( { - 5; + \infty } \right)\), sao cho \({x_1} < {x_2}\), ta có:

\(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{ - {x_1} - 5}} - \frac{1}{{ - {x_2} - 5}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{\left( {{x_1} + 5} \right)\left( {{x_2} + 5} \right)}}\)

Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_2} - {x_1} > 0\)     (1)

Mặt khác, khi lấy x1 x2 cùng nhỏ hơn -5 hoặc cùng lớn hơn -5, ta đều có \({x_1} + 5\) và \({x_2} + 5\) luôn cùng dấu nên \(\left( {{x_1} + 5} \right)\left( {{x_2} + 5} \right) > 0\) (2)

Kết hợp (1) và (2) ta có \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0\). Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng  \(\left( { - \infty ; - 5} \right) \cup \left( { - 5; + \infty } \right)\)

b) Hàm số \(f\left( x \right) = \left| {3{\rm{x}} - 1} \right|\) được viết lại như sau

\(f\left( x \right) = \left| {3x - 1} \right| = \left\{ \begin{array}{l}3x - 1{\rm{        }}\left( {{\rm{3}}x - 1 \ge 0} \right)\\ - \left( {3x - 1} \right){\rm{   }}\left( {{\rm{3}}x - 1 < 0} \right)\end{array} \right. = \left\{ \begin{array}{l}3x - 1{\rm{    }}\left( {x \ge \frac{1}{3}} \right)\\ - 3x + 1{\rm{  }}\left( {x < \frac{1}{3}} \right)\end{array} \right.\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = 3x - 1\). Hàm số này xác định trên \(\mathbb{R}\)

Lấy\({x_1},{x_2}\) là hai số tùy ý sao cho \({x_1} < {x_2}\), ta có:

\({x_1} < {x_2} \Rightarrow 3{x_1} < 3{x_2} \Rightarrow 3{x_1} - 1 < 3{x_2} - 1 \Rightarrow g\left( {{x_1}} \right) < g\left( {{x_2}} \right)\)

Suy ra hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\)

Xét hàm số \(h\left( x \right) =  - 3x + 1\). Hàm số này xác định trên \(\mathbb{R}\)

Lấy\({x_1},{x_2}\) là hai số tùy ý sao cho \({x_1} < {x_2}\), ta có:

\({x_1} < {x_2} \Rightarrow  - 3{x_1} >  - 3{x_2} \Rightarrow  - 3{x_1} + 1 >  - 3{x_2} + 1 \Rightarrow h\left( {{x_1}} \right) > h\left( {{x_2}} \right)\)

Suy ra hàm số \(h\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = \left| {3{\rm{x}} - 1} \right|\) nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\) và đồng biến trên \(\left[ {\frac{1}{3}; + \infty } \right)\)

Bạn muốn hỏi điều gì?
Đặt Câu Hỏi

Chúng tôi sử dụng AI và sức mạnh của cộng đồng để giải quyết câu hỏi của bạn

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"