Giải bài 5 trang 103 sách bài tập toán 10 - Chân trời sáng tạo

2024-09-14 10:31:41

Đề bài

Cho hình ngũ giác đều ABCDE có tâm O. Chứng minh rằng: $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} + \vec{O E} = \vec{0}$

Lời giải chi tiết

Không mất tính tổng quát giả sử $O A = O B = O C = O D = O E = 1$

Ta có: $\hat{A O B} = \hat{B O C} = \hat{C O D} = \hat{D O E} = \hat{E O A} = 360^{\circ} : 5 = 72^{\circ}$

+ Dựng hình bình hành OEHB.

Vì OE=OB nên OEHB là hình thoi, suy ra H thuộc tia phân giác của $\hat{E O B}$ hay H thuộc OA.

$\Rightarrow \vec{O A} + (\vec{O B} + \vec{O E}) = \vec{O A} + \vec{O H} = \vec{O M}$ với M thuộc OA sao cho OM = OH +OA.

+ Tính OM:

Xét tam giác OHE, ta có:

$\hat{H O E} = 72; O E = H E = 1$ $\Rightarrow \hat{O H E} = 72^{o} \Rightarrow \hat{O E H} = 180^{\circ} - 72^{o} - 72^{o} = 36^{\circ}$

Áp dụng định lí cosin: $O H^{2} = O E^{2} + E H^{2} - 2. O E . O H . \cos E$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow O H^{2} = 1 + 1 - 2. \cos 36^{\circ} \approx 0, 382 \\ \Rightarrow O H = 0, 618 \\ \Rightarrow O M = O H + O A = 0, 618 + 1 = 1, 618 \end{array}$

+ Dựng hình bình hành OCKD, ta có: $\vec{O C} + \vec{O D} = \vec{O K}$

Vì OC=OD nên OCKD là hình thoi => OK là tia phân giác của $\hat{C O D}$

$\Rightarrow \hat{C O K} = \frac{1}{2} \hat{C O D} = \frac{1}{2} {.72}^{o} = 36^{o}$

$\Rightarrow \hat{K O A} = \hat{K O C} + \hat{C O B} + \hat{B O A} = 36^{\circ} + 72^{\circ} + 72^{\circ} = 180^{\circ}$

Hay K, O, A thẳng hàng, do đó K, O, M thẳng hàng (do M thuộc OA).

+Tính OK:

Xét tam giác OCK, ta có:

$\begin{array}{l} O C = C K = 1; \hat{C O K} = 36^{o} \Rightarrow \hat{C K O} = 36^{o} \\ \Rightarrow \hat{O C K} = 180^{o} - 36^{o} - 36^{o} = 108^{o} \\ \Rightarrow O K^{2} = O C^{2} + C K^{2} - 2. O C . C K . \cos \hat{O C K} \\ \Leftrightarrow O K^{2} = 1 + 1 - 2. \cos 108^{o} \approx 2, 618 \\ \Rightarrow O K = 1, 618 = O M \end{array}$

Vậy O là trung điểm KM hay $\vec{O K} + \vec{O M} = \vec{0}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} + \vec{O E} = (\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O E}) + (\vec{O C} + \vec{O D}) \\ = \vec{O M} + \vec{O K} = \vec{0} (d p c m) \end{array}$

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

Chúng tôi sử dụng AI và sức mạnh của cộng đồng để giải quyết câu hỏi của bạn

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"