Giải bài 7 trang 103 SBT toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Một hộp chứa 2 quả bóng xanh và 1 số quả bóng trắng. Lấy ra ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Biết rằng xác suất chọn được 2 quả bóng khác màu là $\frac{10}{21}$.

a) Tính xác suất 2 quả bóng lấy ra cùng màu

b) Hỏi trong hộp có bao nhiêu quả bóng?

Lời giải chi tiết

a) Gọi A là biến cố “lấy được hai quả bóng cùng màu”

$\Rightarrow$ Biến cố đối $\bar{A}$: “lấy được hai quả bóng khác màu”

Mà $P(\bar{A})=\frac{10}{21}$

 $\Rightarrow P\left(A\right)=1-P\left(\bar{A}\right)=1-\frac{10}{21}=\frac{11}{21}$

b) Gọi k là số quả bóng trắng trong hộp $\left(k\in N\ast \right)$.

Số cách lấy 2 quả bóng bất kì từ (k+2) quả bóng là $C_{k+2}^2$

Việc lấy được 2 quả bóng khác màu được thực hiện qua 2 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn 1 quả bóng xanh, có 2 cách

Công đoạn 2: Chọn 1 quả bóng trắng, có k cách

=> Có 2.k cách để lấy đc 2 quả bóng khác màu.

Xác suất lấy được 2 quả bóng khác màu là:

$\begin{array}{l}\frac{10}{21}=\frac{2k}{C_{k+2}^2}=\frac{4k}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}\\ \Rightarrow 10\left(k+1\right)\left(k+2\right)=21.4k\\ \iff 10k^2-54k+20=0\\ \iff [\begin{array}{c}k=5\\ k=\frac{2}{5}\end{array}\\ \Rightarrow k=5\end{array}$

Do đó trong hộp có 2 quả bóng xanh và 5 quả bóng trắng.

Vậy, trong hộp có 7 quả bóng