Giải mục 2 trang 35, 36 Chuyên đề học tập Toán 10 - Kết nối tri thức

HĐ4

Quan sát khai triển nhị thức của $(a+b{)}^n$ với $n\in \left\{1;2;3;4;5\right\}$ ở HDD3, hãy dự đoán công thức khai triển trong tường hợp tổng quát.

Lời giải chi tiết:

Quan sát khai triển nhị thức của $(a+b{)}^n$ với $n\in \left\{1;2;3;4;5\right\}$, ta thấy:

+ Công thức khai triển có n+1 số hạng,

+ Từ trái qua phải:

Hệ số khai triển của các số hạng lần lượt là $C_n^0,C_n^1,...,C_n^n$.

Số mũ của a giảm dần từ n về 0.

Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n.

=> Dự đoán $(a+b{)}^n=C_n^0{a}^n+C_n^1{a}^{n-1}b+...+C_n^{n-1}a{b}^{n-1}+C_n^n{b}^n$

Luyện tập 2

Khai triển $(x-2y{)}^6$

Phương pháp giải:

Áp dụng $(a+b{)}^6=C_6^0{a}^6+C_6^1{a}^{5}b+C_6^2{a}^4{b}^2+C_6^3{a}^3{b}^3+C_6^4{a}^2{b}^4+C_6^{5}a{b}^5+C_6^6{b}^6$

Với $a=x,b=-2y$

Lời giải chi tiết:

Theo công thức nhị thức Newton, ta có:

$\begin{array}{l}(x-2y{)}^6=C_6^0{x}^6+C_6^1{x}^5.2y+C_6^2{x}^4{\left(2y\right)}^2+C_6^3{x}^3{\left(2y\right)}^3+C_6^4{x}^2{\left(2y\right)}^4+C_6^{5}x{\left(2y\right)}^5+C_6^6{\left(2y\right)}^6\\ =1.x^6+6.x^5.2y+15.x^4.4y^2+20x^3.8y^3+15x^{2}16y^4+6x.32y^5+1.64y^6\\ =x^6+12x^{5}y+60x^4{y}^2+160x^3{y}^3+240x^2{y}^4+192x{y}^5+64y^6\end{array}$

Luyện tập 3

Tìm hệ số của $x^7$ trong khai triển thành đa thức của $(2-3x{)}^{10}$

Phương pháp giải:

Số hạng chứa $x^k$ trong khai triển của $(ax+b{)}^n$ là $C_n^{n-k}(ax{)}^k{b}^{n-k}$

Do đó hệ số của $x^k$ trong khai triển của $(ax+b{)}^n$ là $C_n^{n-k}{a}^k{b}^{n-k}$

Lời giải chi tiết:

Vì $(2-3x{)}^{10}=(-3x+2{)}^{10}$ nên

Số hạng chứa $x^k$ trong khai triển của $(2-3x{)}^{10}$ hay $(-3x+2{)}^{10}$là $C_{10}^{10-k}(-3x{)}^k{2}^{10-k}$

Số hạng chứa $x^7$ ứng với $k=7$, tức là số hạng $C_{10}^3(-3x{)}^7{2}^3$ hay $-2099520x^7$

Vậy hệ số của $x^7$ trong khai triển của $(2-3x{)}^{10}$ là $-2099520$

Vận dụng

a) Viết khai triển nhị thức Newton của $(1+x{)}^n$

b) Cho $x=1$ trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này với lưu ý rằng $C_n^k(0\le k\le n)$ chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử.

c) Tương tự, cho $x=-1$ trong khai triển ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.

Lời giải chi tiết:

a) $(1+x{)}^n=C_n^0+C_n^{1}x+C_n^2{x}^2+...+C_n^n{x}^n$

b) Thay $x=1$ trong khai triển ở câu a), ta được:

$2^n=C_n^0+C_n^1+C_n^2+...+C_n^n$

Với $C_n^k(0\le k\le n)$ chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử, thì vế phải là tổng số tập con của tập hợp có n phần tử.

=> Số tập con của tập có n phần tử là: $2^n$

c) Thay $x=-1$ trong khai triển ở câu a), ta được:

$\begin{array}{l}0=C_n^0-C_n^1+C_n^2+...+(-1{)}^n{C}_n^n{x}^n\\ \iff C_n^0+C_n^2+C_n^4+...=C_n^1+C_n^3+C_n^5+...\end{array}$

Ý nghĩa: Tập hợp có n phần tử có số tập con có chẵn phần tử = số tập con có lẻ phần tử.