Giải mục 3 trang 45, 46 Chuyên đề học tập Toán 10 - Chân trời sáng tạo

HĐ3

Cho biết tỉ số \(e = \frac{c}{a}\) của các elip lần lượt là \(\frac{3}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}\)(Hình 8). Tính tỉ số \(\frac{b}{a}\) theo \(e\) và nêu nhận xét về sự thay đổi của hình dạng elip gắn với hình chữ nhật cơ sở khi \(e\) thay đổi.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

 \(\frac{b}{a} = \frac{{\sqrt {{a^2} - {c^2}} }}{a} = \sqrt {1 - \frac{{{c^2}}}{{{a^2}}}}  = \sqrt {1 - {e^2}} \)

Do đó:

- Khi tâm sai e càng bé (tức là càng gần 0) thì b càng gần a và elip trông càng “béo”.

- Khi tâm sai e càng lớn (tức là càng gần 1) thì tỉ số \(\frac{b}{a}\) càng gần 0 và elip trông càng “dẹt”.

Thực hành 3

a) Tìm tâm sai của elip (E): \(\frac{{{x^2}}}{{100}} + \frac{{{y^2}}}{{99}} = 1\) và elip (E’): \(\frac{{{x^2}}}{{10}} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\)

b) Không cần vẽ hình, theo bạn elip nào có hình dạng “dẹt” hơn?

Phương pháp giải:

Cho elip có phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\).

\(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \)

+ Tâm sai của elip: \(e = \frac{c}{a}\)

+ Khi tâm sai e càng lớn (tức là càng gần 1) thì elip trông càng “dẹt”.

Lời giải chi tiết:

a) Elip (E) có \({a^2} = 100,{b^2} = 99\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 1,e = \frac{c}{a} = \frac{1}{{10}}.\)

Elip (E’) có \({a^2} = 10,{b^2} = 1\), suy ra \(c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 3,e = \frac{c}{a} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}.\)

b) Ta thấy \(\frac{3}{{\sqrt {10} }} > \frac{1}{{10}}\), vậy elip (E’) “dẹt” hơn elip (E).

Vận dụng 3

Trong hệ Mặt Trời, các hành tinh chuyển động theo quỹ đạo là đường elip nhận tâm Mặt Trời là một tiêu điểm. Từ hình ảnh mô phỏng quỹ đạo chuyển động của các hành tinh (Hình 9), hãy so sánh tâm sai của quỹ đạo chuyển động của Trái Đất với tâm sai quỹ đạo chuyển động của tiểu hành tinh HD20782b.

(Nguồn: https://www.nasa.gov)

Phương pháp giải:

+ Khi tâm sai e càng lớn (tức là càng gần 1) thì elip trông càng “dẹt”.

Lời giải chi tiết:

Ta thấy quỹ đạo của tiểu hành tinh HD20782b dẹt hơn quỹ đạo của Trái Đất, suy ra tâm sai của elip quỹ đạo chuyển động của tiểu hành tinh lớn hơn tâm sai của elip quỹ đạo chuyển động của Trái Đất.