Đề bài
Một sao chổi A chuyển động theo quỹ đạo có dạng một parabol (P) nhận tâm Mặt Trời là tiêu điểm. Cho biết khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là khoảng 112 km.
a) Viết phương trình chính tắc của parabol (P)
b) Tính khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cho parabol \({y^2} = 2px\)
Tiêu điểm \(F\left( {\frac{p}{2};0} \right)\)
Khoảng cách ngắn nhất của \(MF\) là \(MF = \frac{p}{2}\), xảy ra ra khi M là đỉnh của parabol.
Lời giải chi tiết
a) Gọi PTCT của parabol là \({y^2} = 2px\)
Với \(M(x;y)\) bất kì nằm trên parabol, ta có: \(MF = x + \frac{p}{2} \ge \frac{p}{2}\) (do \(x \ge 0\))
Vì khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là khoảng 112 km nên \(\frac{p}{2} = 112 \Leftrightarrow p = 224\)
\( \Rightarrow \) Phương trình chính tắc của (P) là: \({y^2} = 448x\)
b)
Gọi \(M(x;y)\) là vị trí sao chổi A, nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P).
Parabol (P) có tiêu điểm \(F(112;0)\) \( \Rightarrow M(112;y)\)
\(MF = \left| {{y_M}} \right| = \sqrt {2.224.112} = 224\)
Vậy khoảng cách là 224 km.
English
French
Spanish
Russian