Giải mục 1 trang 49 Chuyên đề học tập Toán 10 - Cánh diều

HĐ 1

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta xét hypebol (H) với phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\) (Hình 13)

a) Tìm tọa độ của hai tiêu điểm \({F_1},{F_2}\) của hypebol \(\left( H \right)\)

b) Hypebol \(\left( H \right)\) cắt trục \(Ox\) tại các điểm \({A_1},{A_2}\). Tìm độ dài các đoạn thẳng \(O{A_1},O{A_2}\)

Phương pháp giải:

Phương trình của hypebol \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\). Khi đó ta có:

+ Tiêu điểm \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\)

+ Độ dài trục thực: \(2a\), độ dài trục ảo: \(2b\)

Lời giải chi tiết:

a) \({F_1},{F_2}\) là tiêu điểm của hypebol (H) có tọa độ \({F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)\) với \(c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

b) \({A_1},{A_2}\) là giao điểm của (H) với Ox \( \Rightarrow {y_{{A_1}}} = {y_{{A_2}}} = 0 \Rightarrow \frac{{{x_{{A_1}}}^2}}{{{a^2}}} = 1;\frac{{{x_{{A_2}}}^2}}{{{a^2}}} = 1 \Rightarrow {x_{{A_1}}} =  - a;{x_{{A_2}}} = a\)

Hay \({A_1}( - a;0),{A_2}(a;0)\) \( \Rightarrow O{A_1} = O{A_2} = a\)

HĐ 2

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), ta xét hypebol (H) với phương trình chính tắc \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) trong đó \(a > 0,b > 0\) (Hình 14). Cho điểm \(M\left( {x;y} \right)\) nằm trên hypebol (H). Gọi \({M_1},{M_2},{M_3}\) lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oy và gốc O. Các điểm \({M_1},{M_2},{M_3}\) có nằm trên hypebol (H) không? Tại sao?

Lời giải chi tiết:

+ Điểm \({M_1}\left( {x; - y} \right)\) thuộc hypebol (H) vì \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{{( - y)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

+ Điểm \({M_2}\left( { - x;y} \right)\) thuộc hypebol (H) vì \(\frac{{{{( - x)}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

+ Điểm \({M_3}\left( { - x; - y} \right)\) thuộc hypebol (H) vì \(\frac{{{{( - x)}^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{{( - y)}^2}}}{{{b^2}}} = 1\)