Đề thi học kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức - Đề số 3

Đề bài

Phần 1: Trắc nghiệm (30 câu – 6 điểm)

Câu 1: Cho các phát biểu sau đây:

     (1) “17 là số nguyên tố”.

     (2) “Tam giác vuông có một đường trung tuyến bằng nửa cạnh huyền”.

     (3) “Các em C14 hãy cố gắng học tập thật tốt nhé!”

     (4) “Mọi hình chữ nhật đều nội tiếp được đường tròn”.

Hỏi có bao nhiêu phát biểu là mệnh đề?

     A. 4.                                   B. 3.                                   C. 2.                                   D. 1.

Câu 2: Giả sử biết số đúng là 8217,3. Sai số tuyệt đối khi quy tròn số này đến hàng chục là:

     A. 7,3.                                B. 2,3.                                C. 0,3.                                D. 2,7.

Câu 3: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đặt \(\vec a{\rm{ \;}} = \overrightarrow {AB} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \vec b{\rm{ \;}} = \overrightarrow {AM} \). Giả sử \(\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = x\vec a{\rm{ \;}} + y\vec b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ,x,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y \in \mathbb{R}\). Tìm cặp số (x;y) tương ứng.

     A. (-1;-2).                           B. (1;2).                             C. (-1;2).                            D. (1;-2).

Câu 4: Lớp 10A có 37 học sinh, trong đó có 17 học sinh thích môn Văn, 19 học sinh thích môn Toán, 9 em không thích môn Văn và Toán. Số học sinh tích cả hai môn Văn và Toán là:

     A. 13.                                 B. 8.                                   C. 6.                                   D. 2.

Câu 5: Tìm tập nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - 4 \ge 0}\\{\frac{{x - 1}}{2} - x \ge {\rm{ \;}} - 2}\end{array}} \right.\).

     A. \(S = \left[ {3; + \infty } \right).\)                           B. \(S = \left[ {\frac{4}{3};3} \right].\)    C. \(S = \left[ {\frac{4}{3}; + \infty } \right).\)                             D. \(S = \emptyset .\)

Câu 6: Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 1 > 0}\\{y \ge 2}\\{ - x + 2y > 3}\end{array}} \right.\) là phần không tô đậm của hình vẽ nào trong các hình vẽ sau:

     A.    B.    C.   D. 

Câu 7: Cho tam giác ABC có AB = 9, AC = 18 và A = 60⁰. Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

     A. 3.                                   B. \(9\sqrt 3 .\)                  C. 9.                                   D. 6.

Câu 8: Một người ngồi trên tàu hỏa đi từ ga A đến ga B. Khi đỗ tàu ở ga A, qua ống nhòm người đó nhìn thấy một tháp C. Hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng đi của tàu một góc 60⁰. Khi tàu đỗ ở ga B, người đó nhìn lại vẫn thấy tháp C, hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng ngược với hướng đi của tàu một góc 45⁰. Biết rằng đoạn đường tàu nối thẳng ga A với ga B dài 8km. Hỏi khoảng cách từ ga A đến tháp C gần nhất với số nào sau đây?

     A. 5,9.                                B. 5,86.                              C. 5,78.                              D. 5,8.

Câu 9: Biểu thức \({\tan ^2}x{\sin ^2}x - {\tan ^2}x + {\sin ^2}x\) có giá trị bằng

     A. -1.                                 B. 0.                                   C. 2.                                   D. 1.

Câu 10: Gọi AN, CM là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Đẳng thức nào sau đây đúng?

     A. \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AN} {\rm{ \;}} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} \).                             B. \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AN} {\rm{ \;}} - \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} \).     C. \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AN} {\rm{ \;}} + \frac{4}{3}\overrightarrow {CM} \).                             D. \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AN} {\rm{ \;}} + \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} \).

Câu 11: Điểm thi của 32 học sinh trong kì thi Tiếng Anh (thang điểm 100) như .sau:

Độ lệch chuẩn là:

     A. \(s \approx 13,793\)     B. \(s \approx 19,973\)      C. \(s \approx 17,393\)     D. \(s \approx 13,933\)

Câu 12: Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, nếu điểm M thỏa mãn hệ thức \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + 4\overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0\) thì vị trí của điểm M thuộc miền nào trong hình vẽ?

     A. Miền 1.                         B. Miền 2.                          C. Miền 3.                         D. ở ngoài tam giác ABC.

Câu 13: Tứ giác ABCD thỏa mãn điều kiện: \(\overrightarrow {DB} {\rm{ \;}} = m\overrightarrow {DC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DA} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {m > 0} \right)\) là:

     A. Hình thang.                   B. Hình bình hành.            C. Hình chữ nhật.              D. Hình thoi.

Câu 14: Trong tam giác ABC, hệ thức nào sau đây sai?

     A. \(a = \frac{{b\sin A}}{{\sin B}}.\)                          B. \(b = R.\tan B.\)           C. \(\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}.\)                                 D. \(a = 2R\sin A.\)

Câu 15: Để đo độ phân tán (độ chênh lệch) giữa các giá trị của mẫu số liệu so với số trung bình, người ta sử dụng số đặc trưng nào sau đây?

     A. Phương sai                    B. Độ lệch chuẩn               C. Cả A và B đúng            D. Cả A và B sai

Câu 16: Sản lượng lúa của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng tần số sau đây: (đơn vị: tạ)

Phương sai là

     A. 1,24                               B. 1,54                               C. 22,1                               D. 4,70

Câu 17: Cho tập hợp \(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}|x < 5} \right\}\). Tập hợp A viết lại bằng cách liệt kê các phần tử là

     A. \(A = \left\{ {1,2,3,4,5} \right\}\)                            B. \(A = \left\{ {1,2,3,4} \right\}\)             C. \(A = \left\{ {0,1,2,3,4} \right\}\)  D. \(A = \left( {0,5} \right)\)

Câu 18: Cho hai tập hợp \(X = \left\{ {1;2;3;4} \right\}\), \(Y = \left\{ {1;2} \right\}\). Tập hợp \({C_X}Y\) là tập hợp nào sau đây?

     A. \(\left\{ {3;4} \right\}.\)                                           B. \(\left\{ {1;2;3;4} \right\}.\)      C. \(\left\{ {1;2} \right\}.\)                                D. \(\emptyset .\)

Câu 19: Phần không tô đậm trong hình vẽ dưới đây (không chứa biên), biểu diễn tập nghiệm của hệ bất phương trình nào trong các hệ bất phương trình sau?

     A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y < 0}\\{2x - y < 1}\end{array}} \right..\)      B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y > 0}\\{2x - y < 1}\end{array}} \right..\)                 C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y > 0}\\{2x - y > 1}\end{array}} \right..\)                 D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y < 0}\\{2x - y > 1}\end{array}} \right..\)

Câu 20: Trong hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3y - 2 \ge 0}\\{2x + y + 1 \le 0}\end{array}} \right.\). Trong các điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình?

     A. A(0;1).                          B. C(1;3).                           C. B(-1;1).                         D. D(-1;0).

Câu 21: Cho \(\sin x = \frac{3}{5},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {90^0} < x < {180^0}\). Giá trị biểu thức \(P = \tan x.{\cos ^2}x\) bằng:

     A. \(\frac{{12}}{{25}}.\)    B. \(\frac{{25}}{{12}}.\)    C. \( - \frac{{25}}{{12}}.\)            D. \( - \frac{{12}}{{25}}.\)

Câu 22: Cho \(\tan \alpha {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - 2\). Tính giá trị của biểu thức \(P = \frac{{2\sin \alpha {\rm{ \;}} + 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha {\rm{ \;}} - 2\cos \alpha }}\).

     A. \(P = \frac{7}{4}.\)       B. \(P = {\rm{ \;}} - \frac{1}{8}.\)                               C. \(P = {\rm{ \;}} - \frac{7}{4}.\)                          D. \(P = \frac{1}{8}.\)

Câu 23: Cho tam giác ABC có trung tuyến BM và trọng tâm \(G\). Đặt \(\overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {BA} {\rm{\;}} = b\). Hãy phân tích vectơ \(\overrightarrow {BG} \) theo \(\vec a\) và \(\vec b\).

     A. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\)              B. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\vec a + \frac{2}{3}\vec b\)     C. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{2}{3}\vec b\)              D. \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\)

Câu 24: Khẳng định nào sau đây là sai?

     A. Ba điểm phân biệt \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} C\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} = k\overrightarrow {BC} ,k \ne 0\).

     B. Ba điểm phân biệt \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} C\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AC}  = k\overrightarrow {BC} ,k \ne 0\).  

     C. Ba điểm phân biệt \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} C\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} = k\overrightarrow {AC} ,k \ne 0\).

     D. Ba điểm phân biệt \(A,B,C\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} {\rm{\; = \;}}k\overrightarrow {AC} \).

Câu 25: Cho tam giác ABC biết AB = 5, AC = 7, BC = 6. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác xấp xỉ là:

     A. 1,63                               B. 1,71                               C. 1,36                               D. 1,06

Câu 26: Thực hiện đo chiều dài của bốn cây cầu, kết quả đo đạc nào trong các kết quả sau đây là chính xác nhất?

     A. \(15,34m \pm 0,01m.\) B. \(1527,4m \pm 0,2m.\) C. \(2135,8m \pm 0,5m.\) D. \(63,47m \pm 0,15m.\)

Câu 27: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu 1  1  1  2  2  2  3  3  4  20 là:

     A. 2.                                   B. 1.                                   C. 3.                                   D. 4.

Câu 28: Cho số \(x = \frac{2}{7}\). Cho các giá trị gần đúng của x là 0,28; 0,29; 0,286; 0,287. Giá trị gần đúng nào là tốt nhất

     A. 0,28.                              B. 0,29.                              C. 0,286.                            D. 0,287.

Câu 29: Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C. Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thỏa mãn điều kiện \(\left( {\overrightarrow {CA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = 0\) là:

     A. \(\Delta ABC\) đều.                                                B. \(\Delta ABC\) cân tại C.

     C. \(\Delta ABC\) vuông tại C.                                                                              D. \(\Delta ABC\) vuông cân tại C.

Câu 30: Cho tam giác ABC vuông cân tại A, cạnh AC = a. Tính \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \).

     A. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = \vec 0.\)         B. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = {a^2}.\)                  C. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = 0.\)                      D. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = \sqrt 2 {a^2}.\)

Phần 2: Tự luận (4 điểm)

Câu 1: Trong một cuộc thi nghề, người ta ghi lại thời gian hoàn thành một sản phẩm của một số thí sinh ở bảng sau:

     a) Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của thời gian thi nghề của các thí sinh trên.

b) Năm ngoái, thời gian thi của các thí sinh có số trung bình và trung vị đều bằng nhau 7. Bạn hãy so sánh thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm.

Câu 2: Cho tam giác ABC.

Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện \(\left| {\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} - 3\overrightarrow {MC} } \right|\).

Câu 3: Cho tam giác ABC có ba cạnh là a, b, c. Chứng minh rằng

\(\frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2abc}} = \frac{{\cos A}}{a} + \frac{{\cos B}}{b} + \frac{{\cos C}}{c}\).

----- HẾT -----

Lời giải

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Phần 1: Trắc nghiệm (30 câu – 6 điểm)

Câu 1 (NB):

Phương pháp:

Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai.

Cách giải:

Câu (3) không phải là mệnh đề.

Chọn B.

Câu 2 (TH):

Phương pháp:

Tìm số quy tròn a của \(\bar a = 8217,3\) đến hàng chục.

Tính sai số tuyệt đối \(\Delta {\rm{ \;}} = \left| {\bar a - a} \right|\).

Cách giải:

Quy tròn \(\bar a = 8217,3\) đến hàng chục ta được số gần đúng \(a = 8220\).

Vậy sai số tuyệt đối là: \(\Delta {\rm{ \;}} = \left| {\bar a - a} \right| = 2,7.\)

Chọn D.

Câu 3 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức trung điểm:  \(\overrightarrow {AM} {\rm{ \;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} } \right)\).

Cách giải:

Vì M là trung điểm của BC nên

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AM} {\rm{ \;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} } \right)}\\{ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {AM} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {AC} }\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + 2\overrightarrow {AM} }\\{ \Rightarrow x = {\rm{ \;}} - 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y = 2.}\end{array}\)

Vậy cặp số (x;y) cần  tìm là (-1;2).

Chọn C.

Câu 4 (TH):

Phương pháp:

Tính số HS thích học một trong hai môn.

Tính số HS thích học cả hai môn = Số HS thích môn Văn + số HS thích môn Toán – số HS thích một trong hai môn.

Cách giải:

Số học sinh thích môn Văn hoặc Toán là: 37 – 9 = 28 (bạn).

Số học sinh thích cả hai môn Văn và Toán là: (17 + 19) – 28 = 8 (bạn).

Chọn B.

Câu 5 (TH):

Phương pháp:

Giải từng bất phương trình.

Lấy giao hai tập hợp nghiệm của hai bất phương trình.

Cách giải:

Giải từng bất phương trình:

\(3x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{4}{3} \Rightarrow {S_1} = \left[ {\frac{4}{3}; + \infty } \right)\).

\(\frac{{x - 1}}{2} - x \ge {\rm{ \;}} - 2 \Leftrightarrow x - 1 - 2x \ge {\rm{ \;}} - 2x \Leftrightarrow x \ge 1 \Rightarrow {S_2} = \left[ {1; + \infty } \right).\).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = {S_1} \cap {S_2} = \left[ {\frac{4}{3}; + \infty } \right).\)

Chọn C.

Câu 6 (TH):

Phương pháp:

Dựa vào các điểm thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Cách giải:

Thay tọa độ điểm (2;0) vào bất phương trình ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 + 2 - 1 > 0}\\{2 \ge 2}\\{ - 0 + 2.2 > 3}\end{array}} \right.\) (đúng) nên điểm (0;2) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Dựa vào các đáp án ta thấy chỉ có đáp án C thỏa mãn.

Chọn C.

Câu 7 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC tính BC: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\).

Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A.\)

Sử dụng công thức \({S_{ABC}} = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}}\), từ đó suy ra R.

Cách giải:

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = {9^2} + {{18}^2} - 2.9.8.\cos {{60}^0} = 243}\\{ \Rightarrow BC = 9\sqrt 3 }\end{array}\)

Khi đó ta có: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin A = \frac{1}{2}.9.18.\sin {60^0} = \frac{{81\sqrt 3 }}{2}\).

Mà \({S_{ABC}} = \frac{{AB.AC.BC}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{AB.AC.BC}}{{4{S_{ABC}}}} = \frac{{9.18.9\sqrt 3 }}{{4.\frac{{81\sqrt 3 }}{2}}} = 9.\)

Chọn C.

Câu 8 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng định lí Sin trong tam giác ABC ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\).

Cách giải:

Xét tam giác ABC ta có: C = 180⁰ – (A + B) = 75⁰.

Sử dụng định lí Sin trong tam giác ABC ta có: \(\frac{{AB}}{{\sin C}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}\).

\( \Rightarrow AC = \frac{{AB}}{{\sin C}}.\sin B = \frac{8}{{\sin {{75}^0}}}.\sin {45^0} \approx 5,86.\)

Chọn B.

Câu 9 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\).

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\tan }^2}x{{\sin }^2}x - {{\tan }^2}x + {{\sin }^2}x}\\{ = {{\tan }^2}x\left( {{{\sin }^2}x - 1} \right) + {{\sin }^2}x}\\{ = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}.\left( { - {{\cos }^2}x} \right) + {{\sin }^2}x}\\{ = {\rm{ \;}} - {{\sin }^2}x + {{\sin }^2}x = 0.}\end{array}\)

Chọn B.

Câu 10 (VD):

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc ba điểm, phép nhân vectơ với một số.

Cách giải:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {AM}  = 2\left( {\overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {CM} } \right)}\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {BC}  + 2\overrightarrow {CM} }\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {AN}  + 2\overrightarrow {CM}  + \left( {\overrightarrow {BM}  - \overrightarrow {CM} } \right)}\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {AN}  + 2\overrightarrow {CM}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {CM} }\\{ \Leftrightarrow \frac{3}{2}\overrightarrow {AB}  = 2\overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {CM} }\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB}  = \frac{4}{3}\overrightarrow {AN}  + \frac{2}{3}\overrightarrow {CM} }\end{array}\)

Chọn D.

Câu 11 (VD):

Phương pháp:

Áp dụng công thức tìm độ lệch chuẩn.

Cách giải:

Bảng phân bố tần số:

Điểm trung bình: \(\bar x = \frac{{45.4 + 55.6 + 65.10 + 75.6 + 85.4 + 95.2}}{{32}} = 66,875\) (điểm)

Phương sai: \({s^2} = \frac{1}{{32}}\left[ {4.{{\left( {45 - 66,875} \right)}^2} + 6.{{\left( {55 - 66,875} \right)}^2} + {\rm{\;}} \ldots {\rm{\;}} + 2.{{\left( {95 - 66,875} \right)}^2}} \right] \approx 190,234\) (điểm)

Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt[{}]{{{s^2}}} = \sqrt[{}]{{190,234}} \approx 13,793\) (điểm)

Chọn A.

Câu 12 (TH):

Phương pháp:

Cho tam giác ABC trọng tâm G và điểm M bất kì, ta có \(\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = 3\overrightarrow {MG} .\)

Cách giải:

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + 4\overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0}\\{ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} } \right) + 3\overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0}\\{ \Leftrightarrow 3\overrightarrow {MG} {\rm{ \;}} + 3\overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0}\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {MG} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {MC} {\rm{ \;}} = \vec 0}\end{array}\)

=> M là trung điểm của GC.

Vậy M thuộc miền 1.

Chọn A.

Câu 13 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc hiệu.

Cách giải:

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {DB} {\rm{ \;}} = m\overrightarrow {DC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {DA} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {m > 0} \right)}\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {DB} {\rm{ \;}} - \overrightarrow {DA} {\rm{ \;}} = m\overrightarrow {DC} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {m > 0} \right)}\\{ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = m\overrightarrow {DC} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {m > 0} \right)}\end{array}\)

Khi đó \(\overrightarrow {AB} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {DC} \) là hai vectơ cùng hướng.

Vậy ABCD là hình thang.

Chọn A.

Câu 14 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng định lí Sin trong tam giác: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\).

Cách giải:

Sử dụng định lí Sin trong tam giác ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R}\\{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = \frac{{b\sin A}}{{\sin B}}}\\{\sin c = \frac{{c\sin A}}{a}}\\{a = 2R\sin A}\end{array}} \right.}\end{array}\)

Suy ra A, C, D đúng.

Chọn B.

Câu 15 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn.

Cách giải:

Để đo độ phân tán (độ chênh lệch) giữa các giá trị của mẫu số liệu so với số trung bình, người ta sử dụng số đặc trưng là phương sai và độ lệch chuẩn.

Chọn C.

Câu 16 (TH):

Phương pháp:

Đối với bảng phân bố tần số, phương sai được tính theo công thức:

\({s^2} = \frac{1}{N}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \bar x} \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{x_2} - \bar x} \right)}^2} + {\rm{\;}} \ldots {\rm{\;}} + {n_k}{{\left( {{x_k} - \bar x} \right)}^2}} \right]\)

Với \({n_i};{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {f_i}\) lần lượt là tần số, tần suất của giá trị \({x_i}\).

Cách giải:

Bảng phân số tần số:

*) Sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng là:

\(\bar x = \frac{{20.5 + 21.8 + 22.11 + 23.10 + 24.6}}{{40}} = 22,1{\mkern 1mu} \)(tạ)

*) Phương sai:

\({s^2} = \frac{1}{{40}}\left[ {5.{{\left( {20 - 22,1} \right)}^2} + 8.{{\left( {21 - 22,1} \right)}^2} + 11.{{\left( {22 - 22,1} \right)}^2} + 10.{{\left( {23 - 22,1} \right)}^2} + 6.{{\left( {24 - 22,1} \right)}^2}} \right]\)\( = 1,54\) (tạ)

Chọn B.

Câu 17 (NB):

Phương pháp:

Liệt kê các số tự nhiên nhỏ hơn 5.

Cách giải:

\(A = \left\{ {x \in \mathbb{N}|x < 5} \right\} = \left\{ {0,1,2,3,4} \right\}\).

Chọn C.

Câu 18 (NB):

Phương pháp:

\({C_X}Y = X\backslash Y = \{ x \in X\) và \(x \notin Y\} .\)

Cách giải:

Ta có: \({C_X}Y = X\backslash Y = \left\{ {3;4} \right\}.\)

Chọn A.

Câu 19 (NB):

Phương pháp:

Dựa vào các điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Cách giải:

Điểm (1;0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên loại đáp án A và D vì 1 – 0 < 0 (vô lý).

Điểm (1;0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nên loại đáp án B vì 2.1 – 0 < 1 (vô lý).

Chọn C.

Câu 20 (TH):

Phương pháp:

Thay trực tiếp tọa độ các điểm ở các đáp án vào hệ bất phương trình.

Cách giải:

Thay tọa độ điểm A(0;1) vào bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 + 3.1 - 2 \ge 0}\\{2.0 + 1 + 1 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 \ge 0}\\{2 \le 0}\end{array}} \right.\) (sai)

Thay tọa độ điểm C(1;3) vào bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 3.3 - 2 \ge 0}\\{2.1 + 3 + 1 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{8 \ge 0}\\{6 \le 0}\end{array}} \right.\) (sai)

Thay tọa độ điểm B(-1;1) vào bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 + 3.1 - 2 \ge 0}\\{2\left( { - 1} \right) + 1 + 1 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \ge 0}\\{0 \le 0}\end{array}} \right.\) (đúng)

Thay tọa độ điểm D(-1;0) vào bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 1 + 3.0 - 2 \ge 0}\\{2\left( { - 1} \right) + 0 + 1 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 \ge 0}\\{ - 1 \le 0}\end{array}} \right.\) (sai)

Vậy điểm B(-1;1) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Chọn C.

Câu 21 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) tính \(\cos x.\)

Tính \(\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}}\).

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x = 1}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^2} + {{\cos }^2}x = 1}\\{ \Leftrightarrow {{\cos }^2}x = \frac{{16}}{{25}}}\\{ \Leftrightarrow \cos x = {\rm{ \;}} \pm \frac{4}{5}}\end{array}\)

Vì \({90^0} < x < {180^0} \Rightarrow \cos x < 0\).

\( \Rightarrow \cos x = {\rm{ \;}} - \frac{4}{5} \Rightarrow \tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{ - \frac{4}{5}}} = {\rm{ \;}} - \frac{3}{4}\).

Vậy \(P = \tan x.{\cos ^2}x = {\rm{ \;}} - \frac{3}{4}.\frac{{16}}{{25}} = {\rm{ \;}} - \frac{{12}}{{25}}.\)

Chọn D.

Câu 22 (VD):

Phương pháp:

Chia cả tử và mẫu biểu thức P cho \cos \alpha  và biểu diễn biểu thức P theo \tan \alpha .

Cách giải:

Vì \(\tan \alpha {\rm{ \;}} = {\rm{ \;}} - 2\) xác định nên \(\cos \alpha {\rm{ \;}} \ne 0.\)

Chia cả tử và mẫu của biểu thức P cho \(\cos \alpha \) ta được:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{P = \frac{{2\sin \alpha {\rm{ \;}} + 3\cos \alpha }}{{3\sin \alpha {\rm{ \;}} - 2\cos \alpha }} = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 3}}{{3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 2}}}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu}  = \frac{{2\tan \alpha {\rm{ \;}} + 3}}{{3\tan \alpha {\rm{ \;}} - 2}} = \frac{{2.\left( { - 2} \right) + 3}}{{3.\left( { - 2} \right) - 2}} = \frac{{ - 1}}{{ - 8}} = \frac{1}{8}.}\end{array}\)

Chọn D.

Câu 23 (TH):

Phương pháp:

Áp dụng quy tắc cộng vecto, quy tắc hình bình hành để biểu diễn véctơ.

Cách giải:

\(\overrightarrow {BM} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BM} {\rm{\;}} = \frac{2}{3} \cdot \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)

Mặt khác, \(\overrightarrow {BA} {\rm{\;}} = \vec a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {BC} {\rm{\;}} = \vec b\) nên ta có: \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\)

Vậy \(\overrightarrow {BG} {\rm{\;}} = \frac{1}{3}\vec a + \frac{1}{3}\vec b\).

Chọn A.

Câu 24 (NB):

Phương pháp:

Áp dụng điều kiện để hai vecto cùng phương. Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng.

Cách giải:

Theo lý thuyết, ba điểm \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} C\) phân biệt thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại \(k\) khác \(0\) sao cho \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} = k\overrightarrow {AC} \).

Do vậy, khẳng định sai là: Ba điểm phân biệt \(A,B,C\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(\overrightarrow {AB} {\rm{\; = \;}}k\overrightarrow {AC} \).

Vì xảy ra trường hợp \(k = 0\), khi đó \(\overrightarrow {AB} {\rm{\;}} = k\overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = 0.\overrightarrow {AC} {\rm{\;}} = 0\) (vô lý)

Chọn D.

Câu 25 (NB):

Phương pháp:

Dùng công thức diện tích \(S = pr = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} \)

Cách giải:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{S = pr = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} }\\{ \Rightarrow r = \frac{{\sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} }}{p} = 1,63}\end{array}\)

với \(p = \frac{{a + b + c}}{2} = 9\)

Chọn A.

Câu 26 (TH):

Phương pháp:

Tính sai số tương đối \({\delta _a} = \frac{{{\Delta _a}}}{{\left| a \right|}} \le \frac{d}{{\left| a \right|}}\) trong mỗi đáp án. Sai số tương đối càng nhỏ thì kết quả đo được càng chính xác.

Cách giải:

Đáp án A: \({\delta _a} \le \frac{{0,01}}{{15,34}} = 0,00065189...\)

Đáp án B: \({\delta _b} \le \frac{{0,2}}{{127,4}} = 0,00156985...\)

Đáp án C: \({\delta _c} \le \frac{{0,5}}{{2135,8}} = 0,00023410...\)

Đáp án D: \({\delta _d} \le \frac{{0,15}}{{63,47}} = 0,00236332...\)

Ta thấy \({\delta _c}\) là nhỏ nhất trong các số trên. Vậy phép đo trong ý C có kết quả chính xác nhât.

Chọn C.

Câu 27 (TH):

Phương pháp:

Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là \({\Delta _Q}\), là hiệu số giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất, tức là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\)

Cách giải:

Cỡ mẫu là n = 10 chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là \({Q_2} = \frac{1}{2}\left( {2 + 2} \right) = 2\).

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 1  1  1  2  2  . Do đó \({Q_1} = 1\).

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 2  3  3  4  20. Do đó \({Q_3} = 3\).

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 3 - 1 = 2.\)

Chọn A.

Câu 28 (TH):

Phương pháp:

Giá trị gần đúng tốt nhất khi sai số tuyệt đối nhỏ nhất.

Cách giải:

Đáp án A: \({\Delta _A} = \left| {\frac{2}{7} - 0,28} \right| = 0,0057\).

Đáp án B: \({\Delta _B} = \left| {\frac{2}{7} - 0,29} \right| = 0,0042\)

Đáp án C: \({\Delta _C} = \left| {\frac{2}{7} - 0,286} \right| = 0,00028\)

Đáp án D: \({\Delta _D} = \left| {\frac{2}{7} - 0,287} \right| = 0,00128\)

Vậy số gần đúng 0,286 là tốt nhất.

Chọn C.

Câu 29 (TH):

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc hình bình hành.

Sử dụng: hai vectơ vuông góc với nhau thì tích vô hướng bằng 0.

Cách giải:

Lấy D sao cho ACBD là hình bình hành, khi đó ta có: \(\overrightarrow {CA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {CB} {\rm{ \;}} = \overrightarrow {CD} \).

Theo bài ra ta có: \(\left( {\overrightarrow {CA} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {CD} .\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} = 0\) \( \Rightarrow CD \bot AB\).

Hình bình hành ACBD có hai đường chéo vuông góc nên là hình thoi, do đó CA = CB.

Vậy tam giác ABC cân tại C.

Chọn B.

Câu 30 (NB):

Phương pháp:

Sử dụng định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ: \(\vec a.\vec b{\rm{ \;}} = \left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|.\cos \left( {\vec a,\vec b} \right)\).

Cách giải:

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên \(AB \bot AC\).

Vậy \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} {\rm{ \;}} = 0.\)

Chọn C.

Phần 2: Tự luận (4 điểm)

Câu 1 (VD):

Phương pháp:

a)

* Số trung bình của mẫu số liệu \({x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} ....,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_n}\) kí hiệu là \(\bar x\), được tính bằng công thức:

\(\bar x = \frac{{{m_1}{x_2} + {m_2}{x_2} + ... + {m_k}{x_k}}}{n}\)

Trong đó m_k là tần số của giá trị x_k và \(n = {m_1} + {m_2} + ... + {m_k}\).

* Tứ phân vị của mẫu số liệu:

* Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.

b) Tìm trung vị của mẫu số liệu.

Để tìm trung vị của mẫu số liệu, ta thực hiện như sau:

- Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.

- Nếu giá trị của mẫu số liệu là số lẻ thì giá trị chính giữa của mẫu là trung vị. Nếu là số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa của mẫu.

So sánh số trung bình và trung vị của hai năm.

Cách giải:

a)

* Số trung bình của thời gian thi nghề của các thí sinh là:

\(\bar x = \frac{{5.1 + 6.3 + 7.5 + 8.2 + 35.1}}{{1 + 3 + 5 + 2 + 1}} = \frac{{109}}{{12}} \approx 9,08\) (phút)

* Tìm tứ phân vị:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được: 5  6  6  6  7  7  7  7  7  8  8  35

Vì cỡ mẫu là n = 12 chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là \({Q_2} = \frac{1}{2}\left( {7 + 7} \right) = 7.\)

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu 5  6  6  6  7  7. Do đó \({Q_1} = \frac{1}{2}\left( {6 + 6} \right) = 6\).

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu 7  7  7  8  8  35. Do đó \({Q_3} = \frac{1}{2}\left( {7 + 8} \right) = 7,5\).

* Số thí sinh có thời gian hoàn thành 1 sản phẩm trong vòng 7 phút là lớn nhất (có 5 người) nên mốt là 7.

b) Số trung vị của mẫu số liệu là \({M_e} = {Q_2} = 7.\)

Ta thấy: Số trung bình của năm ngoái thấp hơn năm nay, tuy nhiên giá trị số trung vị hai năm đều bằng 7, do đó xét về mặt bằng chung, thời gian thi trung bình hai năm là tương đương nhau.

Câu 2 (VD):

Phương pháp:

Gọi I là trung điểm của AB, J là điểm nằm trên đường thẳng AC thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {JA}  = 3\overrightarrow {JC} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {JA}  - 3\overrightarrow {JC}  = \vec 0\)

Đưa đẳng thức đã cho về dạng MI = MJ, sử dụng công thức trung điểm, quy tắc ba điểm. Từ đó suy ra tập hợp điểm M.

Cách giải:

Gọi I là trung điểm của AB, J là điểm nằm trên đường thẳng AC thỏa mãn điều kiện \(\overrightarrow {JA}  = 3\overrightarrow {JC} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {JA}  - 3\overrightarrow {JC}  = \vec 0\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA}  - 3\overrightarrow {MC} } \right|}\\{ \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = \left| {\overrightarrow {MJ}  + \overrightarrow {JA}  - 3\left( {\overrightarrow {MJ}  + \overrightarrow {JC} } \right)} \right|}\\{ \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = \left| { - 2\overrightarrow {MJ}  + \left( {\overrightarrow {JA}  - 3\overrightarrow {JC} } \right)} \right|}\\{ \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = \left| { - 2\overrightarrow {MJ} } \right|}\\{ \Leftrightarrow MI = MJ}\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm M là đường trung trực của IJ.

Câu 3 (VDC):

Phương pháp:

Sử dụng \(\overrightarrow {AB} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {BC} {\rm{ \;}} + \overrightarrow {CA} {\rm{ \;}} = \vec 0\), bình phương hai vế, sử dụng khái niệm tích vô hướng của 2 vectơ.

Cách giải:

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA}  = \vec 0}\\{ \Rightarrow {{\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CA} } \right)}^2} = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\overrightarrow {AB} }^2} + {{\overrightarrow {BC} }^2} + {{\overrightarrow {CA} }^2} + 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + 2\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA}  + 2\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB}  = 0}\\{ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  + 2\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA}  + 2\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC} }\\{ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 2ac\cos B + 2bc\cos A + 2ab\cos C}\\{ \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{2abc}} = \frac{{\cos A}}{a} + \frac{{\cos B}}{b} + \frac{{\cos C}}{c}{\mkern 1mu} \left( {dpcm} \right).}\end{array}\)

Mặt khác, theo định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A}\\{ \Leftrightarrow {a^2} = 5{a^2} - 2bc\cos A}\\{ \Leftrightarrow 2bc\cos A = 4{a^2}}\\{ \Leftrightarrow bc = \frac{{2{a^2}}}{{\cos A}} = \frac{{2{a^2}}}{{\cos \alpha }}}\end{array}\)

Vậy \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}\frac{{2{a^2}}}{{2\cos \alpha }}\sin \alpha {\rm{ \;}} = {a^2}\tan \alpha .\)