Đồ thị hàm số $y = (3 - m)x + m + 3$ đi qua gốc tọa độ khi:
- A
$m = - 3$
- B
$m = 3$
- C
$m \ne 3$
- D
$m \ne \pm 3$
Đáp án : A
Sử dụng kiến thức: Điểm thuộc đồ thị hàm số.
Điểm $M(x_0;y_0)$ thuộc đồ thị hàm số $y=ax+b$ \( \Leftrightarrow {y_0} = a{x_0} + b\)
Ta có điểm $O\left( {0\;;0} \right)$ thuộc đường thẳng $y = (3 - m)x + m + 3 \Leftrightarrow (3-m).0+m + 3 = 0 $$\Leftrightarrow m+3=0\Leftrightarrow m = - 3$
Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính giá trị biểu thức \(P = \dfrac{{\sqrt {3 - \sqrt 5 } .\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\sqrt {10} + \sqrt 2 }}\)
- A \(P = \sqrt 2\)
- B \(P = 1\)
- C \(P = \sqrt 5\)
- D \(P = 2\)
Đáp án : B
Nhân biểu thức liên hợp với mẫu rồi rút gọn biểu thức đã cho.
\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{\sqrt {3 - \sqrt 5 } .\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\sqrt {10} + \sqrt 2 }} \\= \dfrac{{\sqrt {3 - \sqrt 5 } \left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt {10} - \sqrt 2 } \right)}}{{10 - 2}}\\ = \dfrac{{\sqrt {3 - \sqrt 5 } \left( {3 + \sqrt 5 } \right).\sqrt 2 \left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{8}\\ = \dfrac{{\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } .\left( {3\sqrt 5 + 5 - 3 - \sqrt 5 } \right)}}{8} \\= \dfrac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} .\left( {2\sqrt 5 + 2} \right)}}{8}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right).2.\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{8} \\= \dfrac{{2.\left( {5 - 1} \right)}}{8} \\= 1.\,\,\,\left( {do\,\,\,\sqrt 5 - 1 > 0} \right).\end{array}\)
Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC cạnh a.
- A \(r = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\)
- B \(r = a\sqrt 3 .\)
- C \(r = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)
- D \(r = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)
Đáp án : C
Ta có đường trung tuyến trong tam giác đều cạnh a có độ dài là: \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) ‘
Khi đó bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC là: \(\frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Cho \(x,y\) là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2.\) Tính giá trị của biểu thức \(Q = x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} .\)
- A
\(Q = - \dfrac{3}{4}\)
- B
\(Q = \dfrac{4}{3}\)
- C
\(Q = - \dfrac{4}{3}\)
- D
\(Q = \dfrac{3}{4}\)
Đáp án : D
Biến đổi biểu thức đã cho bằng phương pháp nhân liên hợp sau đó tính giá trị biểu thức \(Q\).
Theo đề bài ta có: \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right) = 2\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1 - {x^2}} \right)\left( {{y^2} + 1 - {y^2}} \right) = 2\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)\left( {\sqrt {{y^2} + 1} - y} \right)\\ \Leftrightarrow 1 = 2\left[ {\left( {\sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy} \right) - \left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right)} \right]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Lại có: \(\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 1} } \right) = 2\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {\sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy} \right) + \left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = 2\,\,\\ \Leftrightarrow 2\left( {\sqrt {{x^2} + 1} \sqrt {{y^2} + 1} + xy} \right) + 2\left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) ta được: \( - 4\left( {x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} } \right) = - 3\)\( \Rightarrow x\sqrt {{y^2} + 1} + y\sqrt {{x^2} + 1} = \dfrac{3}{4}.\)
Vậy \(Q = \dfrac{3}{4}.\)
Với giá trị nào của \(a\) thì hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}ax + ay = {a^2}\\x + ay = 2\end{array} \right.\) nhận \(\left( { - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{4}{3}} \right)\) là nghiệm:
- A
\(a = 1\)
- B
\(a = - 1\)
- C
\(a = - 2\)
- D
\(a = 2\)
Đáp án : C
Thay \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{2}{3}\\y = - \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\) vào từng phương trình của hệ phương trình để tìm \(m.\)
Thay \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \dfrac{2}{3}\\y = - \dfrac{4}{3}\end{array} \right.\) vào hệ phương trình đã cho ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}a.\left( { - \dfrac{2}{3}} \right) + a.\left( { - \dfrac{4}{3}} \right) = {a^2}\\ - \dfrac{2}{3} + a.\left( { - \dfrac{4}{3}} \right) = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 4a = 3{a^2}\\ - \dfrac{4}{3}a = \dfrac{8}{3}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\3{a^2} + 6a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\3a\left( {a + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\\left[ \begin{array}{l}a = 0\\a = - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow a = - 2\)
Vậy \(a = - 2\) là giá trị cần tìm.
Phương trình: \(2{{x}^{2}}-4mx-3{{m}^{2}}-5=0\)
- A Có 2 nghiệm phân biệt
- B Có nghiệm kép
- C Vô nghiệm
- D Đáp án khác
Đáp án : A
Tính biệt thức \(\Delta '\). Từ đó xét xem phương trình có bao nhiêu nghiệm.
\(\begin{align} & \,\,\,\,\,\,2{{x}^{2}}-4mx-3{{m}^{2}}-5=0 \\ & \Delta '={{(-2m)}^{2}}-2.(-3{{m}^{2}}-5)=4{{m}^{2}}+6{{m}^{2}}+10=10{{m}^{2}}+10>0 \\ \end{align}\)
\(\Rightarrow \) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
Cạnh bên của tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) dài $20cm$ , góc ở đáy là \(50^\circ \)
Độ dài cạnh đáy của tam giác cân là (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
- A
\(25\,cm\)
- B
\(25,7\,cm\)
- C
\(26\,cm\)
- D
\(12,9\,cm\)
Đáp án : B
+ Kẻ đường cao \(AH.\)
+ Tính \(HB\) dựa vào quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông
+ Lập luận dựa vào tính chất tam giác cân để tính cạnh đáy \(BC.\)
Kẻ \(AH \bot BC\) tại \(H.\) Suy ra \(H\) là trung điểm của \(BC\) (do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) có \(AH\) vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến)
Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) có \(\cos \widehat {ABH} = \dfrac{{BH}}{{AB}} \Rightarrow BH = AB.\cos \widehat {ABH}\)\( = 20.\cos 50^\circ \)
Mà \(H\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BC = 2BH = 2.2.\cos 50^0\approx 25,7\,cm\)
Vậy \(BC \approx 25,7\,cm.\)
Một tấm sắt hình chữ nhật có chu vi $96cm$. Người ta cắt ở mỗi góc tấm sắt $1$ hình vuông cạnh là $4cm$. Diện tích còn lại của tấm sắt là $448c{m^2}$. Tính các kích thước của tấm sắt biết chiều dài của tấm sắt có độ dài lớn hơn $20cm$.
- A
$32cm$ và $16cm$
- B
$30cm$ và $18cm$
- C
$28cm$ và $20cm$
- D
$26cm$ và $22cm$
Đáp án : A
Bước 1: Lập phương trình
1) Chọn ẩn, đơn vị và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)
2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình
Sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình bậc nhất, bậc hai…
Bước 3: Kết luận
Nửa chu vi tấm sắt là $96:2 = 48(cm)$
Gọi chiều dài của tấm sắt là $x{\rm{ }}\left( {cm} \right){\rm{ }}\left( {x > 20} \right)$
Chiều rộng tấm sắt sẽ là $48 - x{\rm{ }}\left( {cm} \right)$
Diện tích tấm sắt ban đầu là $x(48 - x)\,\,\left( {c{m^2}} \right)$
Người ta cắt ở mỗi góc tấm sắt $1$ hình vuông cạnh là $4cm$ nên diện tích phần cắt đi là $4.4.4 = 64(c{m^2})$
Diện tích còn lại của tấm sắt là $448c{m^2}$ nên ta có phương trình:
$x(48 - x) - 64 = 448 \Leftrightarrow {x^2} - 48x + 512 = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 32(tmdk)\\x = 16(ktmdk)\end{array} \right.$
Vậy chiều dài và chiều rộng của tấm sắt lần lượt là $32cm$ và $16cm$.
Cho hình vẽ sau:
Chọn câu sai.
- A
\(\sin B = \dfrac{{AH}}{{AB}}\)
- B
\(\cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}}\)
- C
\(\tan B = \dfrac{{AC}}{{AB}}\)
- D
\(\tan C = \dfrac{{AH}}{{AC}}\)
Đáp án : D
+ Xét tam giác \(AHB\) vuông tại \(H\) có \(\sin B = \dfrac{{AH}}{{AB}}\) nên A đúng.
+ Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\cos C = \dfrac{{AC}}{{BC}}\) nên B đúng.
+ Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\tan B = \dfrac{{AC}}{{AB}}\) nên C đúng.
+ Xét tam giác \(AHC\) vuông tại \(H\) có \(\tan C = \dfrac{{AH}}{{CH}}\) nên D sai.
Tìm điều kiện của $x$ để căn thức \(\sqrt {\dfrac{1}{{x - 1}}} \) có nghĩa.
- A
$x \ge 1$
- B
\(x < 1\)
- C
\(x > 1\)
- D
\(x = 1\)
Đáp án : C
\(\sqrt A \) xác định (hay có nghĩa) khi \(A\) lấy giá trị không âm tức là \(A \ge 0.\)
Ngoài ra: \(\dfrac{1}{A} \ge 0 \Leftrightarrow A > 0\)
Ta có \(\sqrt {\dfrac{1}{{x - 1}}} \) có nghĩa \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 1}} \ge 0 \Rightarrow x - 1 > 0\) (vì $1>0$)
\( \Leftrightarrow x > 1\)
Một hình nón có bán kính đáy bằng \(5cm\) , chiều cao bằng \(12\,cm.\)Tính diện tích xung quanh của hình nón.
- A
\(65\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
- B
\(60\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
- C
\(65\,\left( {c{m^2}} \right)\)
- D
\(15\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
Đáp án : A
Công thức tính diện tích xung quanh hình nón \({S_{xq}} = \pi Rl\) với \(R\) là bán kính đáy, \(l\) là đường sinh của hình nón và \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} \) , \(h\) là chiều cao hình nón.
Đường sinh của hình nón là \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = 13.\)
Diện tích xung quanh hình nón là \({S_{xq}} = \pi Rl = \pi .5.13 = 65\pi \,\,\left( {c{m^2}} \right)\)
Cho hình vẽ, MA và MB là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( {O,3cm} \right)\), \(MA = 4cm\). Độ dài đoạn thẳng AB là:
- A 4,8cm
- B 2,4cm
- C 1,2cm
- D 9,6cm
Đáp án : A
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Vì MA và MB là tiếp tuyến nên \(MA = MB\) nên M thuộc trung trực của AB
Mà \(OA = OB\) do cùng là bán kính nên O thuộc trung trực của AB
Suy ra OM là trung trực của AB. Gọi H là giao điểm của MO và AB, ta có \(AH = BH\)
Xét tam giác vuông AMO vuông tại A (do MA là tiếp tuyến) có AH là đường cao
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{M^2}}} + \dfrac{1}{{A{O^2}}} \Rightarrow AH = \sqrt {\dfrac{{A{M^2}.A{O^2}}}{{A{M^2} + A{O^2}}}} = \sqrt {\dfrac{{{4^2}{{.3}^2}}}{{{4^2} + {3^2}}}} = 2,4\)
Suy ra \(AB = 2AH = 2.2,4 = 4,8\).
Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0.\)
Tính tổng \(S = {x_1} + {x_2}\) và \(P = {x_1}{x_2}.\)
- A \(S = 3\,;\,\,P = 2\)
- B \(S = - 3\,;\,\,P = - 2\)
- C \(S = - 3\,;\,\,P = 2\)
- D \(S = 3\,;\,\,P = - 2\)
Đáp án : A
Sử dụng hệ thức Vi-ét.
Phương trình \({x^2} - 3x + 2 = 0\) có: \(a + b + c = 1 - 3 + 2 = 0\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_2} = \dfrac{c}{a} = 2\end{array} \right..\)
Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}S = {x_1} + {x_2} = 1 + 2 = 3\\P = {x_1}{x_2} = 1.2 = 2\end{array} \right..\)
Vậy \(S = 3,\,\,P = 2.\)
Số giao điểm của đường thẳng \(d:y = 12x - 9\) và parabol \(\left( P \right):y = 4{x^2}\) là:
- A
\(2\)
- B
\(1\)
- C
\(0\)
- D
\(3\)
Đáp án : B
Bước 1: Giải phương trình hoành độ giao điểm.
Bước 2: Số nghiệm vừa tìm được của phương trình là số giao điểm của đường thẳng và parabol
Xét phương trình hoành độ giao điểm \(4{x^2} = 12x - 9 \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 9 = 0\) có \(\Delta ' = 0 \) nên phương trình có nghiệm kép hay đường thẳng tiếp xúc với parabol tại 1 điểm.
Trong hình vẽ bên cho $OC \bot AB,AB = 12cm,OA = 10cm$. Độ dài $AC$ là:
- A
$8cm$
- B
$2\sqrt {10} cm$
- C
$4\sqrt 7 cm$
- D
$2cm$
Đáp án : B
Dựa vào tính chất bán kính vuông góc với dây cung.
Dựa vào định lí Pi-ta-go trong tam giác vuông.
Vì $OC$ vuông góc với $AB$ nên $D$ là trung điểm của $AB$ (mối quan hệ giữa đường kính và dây)
$ \Rightarrow AD = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{12}}{2} = 6cm$.
Xét tam giác $AOD$ vuông tại $D$ nên $O{D^2} = O{A^2} - A{D^2} = {10^2} - {6^2} = 64 \Rightarrow OD = 8cm$.
Có $OD + DC = OC$ nên $DC = OC - OD = 10 - 8 = 2cm$.
Xét tam giác $ADC$ vuông tại $D$ nên $A{C^2} = A{D^2} + D{C^2} = {6^2} + {2^2} = 40$ .
Vậy $AC = 2\sqrt {10} cm$.
Giải phương trình \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 5} = x - 2\) ta được nghiệm là
- A
\(x = 1\)
- B
\(x = 3\)
- C
\(x = 2\)
- D
Phương trình vô nghiệm
Đáp án : D
+ Tìm điều kiện
+ Giải phương trình dạng \(\sqrt A = B\,\left( {B \ge 0} \right) \Leftrightarrow A = {B^2}\)
Điều kiện:
\(x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2.\)
Ta có: \(\sqrt {2{x^2} - 4x + 5} = x - 2\)\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {\left( {x - 2} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x + 5 = {x^2} - 4x + 4 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} = - 1\,\) (vô nghiệm vì \({x^2} \ge 0\,\,\forall x\) )
Vậy phương trình vô nghiệm.
Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác là
- A
giao ba đường trung tuyến
- B
giao ba đường phân giác góc trong của tam giác
- C
giao của 1 đường phân giác góc trong và hai đường phân giác góc ngoài của tam giác
- D
giao ba đường trung trực
Đáp án : C
Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác. Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác là giao của 1 đường phân giác góc trong và hai đường phân giác góc ngoài của tam giác
Rút gọn biểu thức \(A = 3\sqrt 8 - \sqrt {18} + 5\sqrt {\dfrac{1}{2}} + \sqrt {50} \) ta được kết quả là
- A
\(\dfrac{{21}}{2}\sqrt 2 \)
- B
\(21\sqrt 2 \)
- C
\(\dfrac{{11}}{2}\sqrt 2 \)
- D
\(11\sqrt 2 \)
Đáp án : A
Sử dụng công thức khai phương một tích, khai phương một thương, trục căn thức ở mẫu
+ Khai phương một tích: \(\sqrt {A.B} = \sqrt A .\sqrt B {\rm{ }}(A \ge 0,B \ge 0)\)
+ Khai phương một thương: \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}{\rm{ }}(A \ge 0,B > 0)\)
+ Với \(A.B \ge 0\) và \(B \ne 0\) thì \(\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{{\left| B \right|}}\)
\(A = 3\sqrt 8 - \sqrt {18} + 5\sqrt {\dfrac{1}{2}} + \sqrt {50} \)
\( = 3\sqrt {4.2} - \sqrt {9.2} + 5 \dfrac{\sqrt 2}{2} + \sqrt {25.2} \)
\( = 6\sqrt 2 - 3\sqrt 2 + \dfrac{5}{2}\sqrt 2 + 5\sqrt 2 \)
\( = \left( {6 - 3 + \dfrac{5}{2} + 5} \right).\sqrt 2 \)
\( = \dfrac{{21}}{2}\sqrt 2 \)
Cho đường tròn $\left( {O;3cm} \right)$, lấy điểm $A$ sao cho $OA = 6cm$. Từ \(A\) vẽ tiếp tuyến $AB,AC$ đến đường tròn $\left( O \right)$ ($B,C$ là tiếp điểm). Chu vi tam giác $ABC$ là
- A
$9cm$
- B
$9\sqrt 3 cm$
- C
$9\sqrt 2 cm$
- D
Kết quả khác
Đáp án : B
Dựa vào tính chất tiếp tuyến của đường tròn
Định lí Pi-ta-go
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cách tính chu vi hình tam giác
Gọi $D$ là giao điểm của $BC$ và $OA$
Có $OC \bot AC$ (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)
Xét $\Delta OAC$ vuông tại \(C\), ta có: $O{C^2} + C{A^2} = O{A^2}$ (Py-ta-go)
\( \Rightarrow A{C^2} = {\rm{ }}O{A^2} - {\rm{ }}O{C^2} = {6^2} - {3^2} = 36 - 9 = 27 \Rightarrow AC = 3\sqrt 3 cm\)
Mà $AC=AB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $AB = 3\sqrt 3 cm$.
Vì $AC=AB;OB=OC$ nên $OA$ là đường trung trực của $BC$ hay $OA \bot BC$ tại $D$ và $D$ là trung điểm của $CB.$
Xét tam giác vuông $OCA$ có $CD$ là đường cao nên:
\(CD = \dfrac{{OC.CA}}{{OA}} = \dfrac{{3.3\sqrt 3 }}{6} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BC = 2CD = 3\sqrt 3 cm\)
Vậy chu vi tam giác $ABC$ là $3\sqrt 3 + 3\sqrt 3 + 3\sqrt 3 = 9\sqrt 3 cm$
Cho \(\widehat {xOy} = {45^0}.\) Trên tia Oy lấy hai điểm A, B sao cho \(AB = \sqrt 2 \left( {cm} \right).\) Tính độ dài hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng AB trên Ox.
- A \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {cm} \right).\)
- B \(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {cm} \right).\)
- C \(1\left( {cm} \right).\)
- D \(\frac{1}{2}\left( {cm} \right).\)
Đáp án : C
Đặt \(OA' = a,\;\;OB' = b.\)
Ta có \(\Delta OA'A\) vuông cân tại \(A' \Rightarrow OA' = AA' = a \Rightarrow OA = a\sqrt 2 .\)
\(\Delta OBB'\) vuông cân tại \(B' \Rightarrow OB' = BB' = b \Rightarrow OB = b\sqrt 2 .\)
Theo đề bài ta có: \(AB = \sqrt 2 {\rm{\;}} \Rightarrow OB = OA + \sqrt 2 {\rm{\;}} \Leftrightarrow b\sqrt 2 {\rm{\;}} = a\sqrt 2 {\rm{\;}} + \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow b - a = 1 \Leftrightarrow OB' - OA' = 1 \Leftrightarrow A'B' = 1.\)
Cho tứ giác ABCD có số đo các góc A, B, C, D lần lượt như sau. Trường hợp nào thì tứ giác ABCD có thể là tứ giác nội tiếp.
- A
${50^0};{60^0};{130^0};{140^0}$
- B
${65^0};{85^0};{115^0};{95^0}$
- C
${82^0};{90^0};{98^0};{100^0}$
- D
Các câu đều sai
Đáp án : B
Áp dụng tính chất tứ giác nội tiếp có tổng hai góc đối diện bằng \({180^0}.\)
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp thì: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat A + \widehat C = {180^0}\\\widehat B + \widehat D = {180^0}\end{array} \right..\)
Xét các đáp án ta có:
+) Đáp án A: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat A + \widehat C = {50^0} + {130^0} = {180^0}\\\widehat B + \widehat D = {60^0} + {140^0} = {200^0}\end{array} \right. \Rightarrow \) loại đáp án A.
+) Đáp án B: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat A + \widehat C = {65^0} + {115^0} = {180^0}\\\widehat B + \widehat D = {85^0} + {95^0} = {180^0}\end{array} \right. \Rightarrow \) đáp án B đúng.
+) Đáp án C: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat A + \widehat C = {82^0} + {98^0} = {180^0}\\\widehat B + \widehat D = {90^0} + {100^0} = {190^0}\end{array} \right. \Rightarrow \) loại đáp án C.
Hai bạn A và B đi xe máy khởi hành từ $2$ địa điểm cách nhau $210{\rm{ }}km,$ đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau $3h.$ Tìm vận tốc của mỗi người biết nếu $A$ tăng vận tốc thêm $5{\rm{ }}km/h$ và B giảm vận tốc $5km/h$ thì vận tốc của $A$ bằng vận tốc của $B.$
- A
$40km/h$ và $30km/h$
- B
$40km/h$ và$45km/h$
- C
$30km/h$ và $40km/h$
- D
$45km/h$ và$30km/h$
Đáp án : C
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1: Lập hệ phương trình
1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm)
2) Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết
3) Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình
Sử dụng các phương pháp thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ…
Bước 3: Kết luận
Gọi vận tốc của $A$ và $B$ lần lượt là $x,{\rm{ }}y{\rm{ }}\left( {km/h;{\rm{ }}x,{\rm{ }}y > 0} \right)$
Hai người đi ngược chiều và gặp nhau sau $3h$ nên ta có phương trình : $3x + 3y = 210\,\,(1)$
Nếu A tăng vận tốc thêm $5{\rm{ }}km/h$ và $B$ giảm vận tốc $5km/h$ thì vận tốc của $A$ bằng vận tốc của $B$ nên ta có phương trình: $x + 5 = y - 5\,\,\,\,(2)$
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}3x + 3y = 210\\x + 5 = y - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 70\\x - y = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 60\\x + y = 70\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 30\\y = 40\end{array} \right.(tmdk)$
Vậy vận tốc của A và B lần lượt là $30km/h$ và $40km/h.$
Một hình trụ có chiều cao bằng đường kính đáy. Biết thể tích của nó là \(54\pi \,\left( {c{m^3}} \right).\) Tính diện tích toàn phần của hình trụ.
- A
\(156\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
- B
\(64\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
- C
\(252\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
- D
\(54\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
Đáp án : D
Hình trụ có bán kính đáy $R$ và chiều cao \(h\) có diện tích toàn phần là \({S_{tp}} = 2\pi {R^2}h + 2\pi {R^2}\), thể tích là \(V = \pi {R^2}h.\)
Gọi hình trụ có bán kính đáy $R$ và chiều cao \(h\) , từ đề bài suy ra \(h = 2R\) .
Khi đó \(V = \pi {R^2}h \Leftrightarrow \pi .{R^2}.2R = 54\pi \Rightarrow {R^3} = 27 \Rightarrow R = 3\,cm\) nên \(h = 2R = 6\,cm.\)
Diện tích toàn phần của hình trụ là \({S_{tp}} = 2\pi .Rh + 2\pi {R^2} = 2\pi .3.6 + 2\pi {.3^2} = 54\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\)
Cho một tam giác đều \(ABC\) có cạnh \(AB = 12cm\), đường cao \(AH\). Khi đó thể tích hình cầu được tạo thành khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) một vòng quanh \(AH\).
- A
\(32\sqrt 3 \)
- B
\(16\pi \sqrt 3 \)
- C
\(8\pi \sqrt 3 \)
- D
\(32\pi \sqrt 3 \)
Đáp án : D
Công thức thể tích hình cầu \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\)
Vì \(\Delta ABC\) là tam giác đều nên tâm đường tròn nội tiếp trùng với trọng tâm \(O\) của tam giác.
Khi đó bán kính đường tròn nội tiếp là \(R = OH = \dfrac{{AH}}{3}\)
Xét tam giác vuông \(ABH\) có \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {12^2} - {\left( {\dfrac{{12}}{2}} \right)^2} = 108 \Rightarrow AH = 6\sqrt 3 \)
Suy ra \(R = \dfrac{{AH}}{3} = 2\sqrt 3 \)
Khi quay nửa đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\) một vòng quanh \(AH\) ta được hình cầu bán kính \(R = 2\sqrt 3 \)\( \Rightarrow V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {2\sqrt 3 } \right)^3} = 32\pi \sqrt 3 \left( {c{m^3}} \right)\)
Điểm nào sau đây thuộc ĐTHS $y = 2{\rm{x}} + 1$:
- A
$(0;1)$
- B
$(0; - 1)$
- C
$(1;0)$
- D
$( - 1;2)$
Đáp án : A
Sử dụng kiến thức: Điểm $({x_0};{y_0})$ thuộc ĐTHS $y = {\rm{ax}} + b \Leftrightarrow {\rm{a}}{{\rm{x}}_0} + b = {y_0}$.
Đáp án A: Thay $ x_0=0;y_0=1$ vào hàm số, ta có $ 2.0 + 1 = 1 \Rightarrow (0;1)$ thuộc ĐTHS đã cho.
Cho đường thẳng $d:y = x - 1$. Khi đó khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng đã cho là:
- A
$2$
- B
$\sqrt 2 $
- C
$\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$
- D
\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
Đáp án : C
- Tìm giao điểm của đường thẳng với trục hoành, trục tung
- Dựng hình chiếu của tam giác được tạo thành
- Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông để tính khoảng cách từ điểm $O$ đến $1$ đường thẳng.
Ta có:
$d \cap Ox$ tại $A(1;0) \Rightarrow OA = 1$
$d \cap Oy $ tại $ B(0; - 1) \Rightarrow OB = 1$
Ta có $OA \bot OB$. Gọi $H$ là hình chiếu của $O$ trên đường thẳng $AB$.
Áp dụng hệ thức trong tam giác ta có:
$\begin{array}{l}\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} = \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} = 2\\ \Rightarrow OH = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array}$
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 21\,cm$; $\widehat C = 40^\circ $ , phân giác \(BD\) (\(D\) thuộc \(AC\) ). Độ dài phân giác $BD$ là (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
- A
\(21,3\,cm\)
- B
\(24\,cm\)
- C
\(22,3\,cm\)
- D
\(23,2\,cm\)
Đáp án : D
+ Tính góc \(ABC\) từ đó suy ra góc \(ABD\)
+ Sử dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông \(ABD\) để tính \(BD.\)
Xét tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(\widehat {ABC} + \widehat C = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ABC} = 50^\circ \)
Mà \(BD\) là phân giác góc \(ABC\) nên \(\widehat {ABD} = \dfrac{1}{2}\widehat {ABC} = 25^\circ \)
Xét tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\) ta có \(BD = \dfrac{{AB}}{{\cos \widehat {ABD}}} = \dfrac{{21}}{{\cos 25^\circ }} \approx 23,2\,cm\)
Cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = 2x - 3\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = - \dfrac{1}{2}x + 2\)
Tìm \(m\) để ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\), \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right):y = 3x - 2m - 3\) đồng quy.
- A
\(m=1\)
- B
\(m=2\)
- C
\(m=3\)
- D
\(m=-1\)
Đáp án : A
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị \((d_1);(d_2)\) để tìm \(x,\) thay giá trị \(x\) vừa tìm được vào 1 trong hai phương trình để tìm \(y.\)
Ba đường thẳng đồng quy khi và chỉ khi đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm của hai đường thẳng còn lại.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\):
\(2x - 3 = - \dfrac{1}{2}x + 2 \Leftrightarrow 2x + \dfrac{1}{2}x = 2 + 3 \Leftrightarrow \dfrac{5}{2}x = 5 \Leftrightarrow x = 2\)
Thay \(x = 2\) vào hàm số \(y = 2x - 3\) ta được \(y = 2.2 - 3 = 1.\)
Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là \(A\left( {2;1} \right)\).
Ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) , \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right):y = 3x - 2m - 3\) đồng quy \( \Rightarrow \left( {{d_3}} \right)\) đi qua giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\)\( \Rightarrow A \in \left( {{d_3}} \right)\)
Thay tọa độ điểm \(A\) vào hàm số \(\left( {{d_3}} \right):\,\,y = 3x - 2m - 3\) ta được:
\(1 = 3.2 - 2m - 3\)\( \Rightarrow 2m = 6 - 3 - 1 \Rightarrow m = 1\)
Vậy \(m = 1\) thì ba đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) , \(\left( {{d_2}} \right)\) và \(\left( {{d_3}} \right):y = 3x - 2m - 3\) đồng quy.
Cặp số \(\left( {x;y} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y = - 2\\2x + y = 6\end{array} \right.\) là:
- A
\(\left( { - 1; - 2} \right)\)
- B
\(\left( {2;2} \right)\)
- C
\(\left( {2; - 1} \right)\)
- D
\(\left( {3;2} \right)\)
Đáp án : B
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số.
\(\left\{ \begin{array}{l}3x - 4y = - 2\\2x + y = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 4y = - 2\\8x + 4y = 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x - 4y = - 2\\11x = 22\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \dfrac{{3x + 2}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 2\end{array} \right.\)
Gọi \({x_1};{x_2}\) là nghiệm của phương trình \(2{x^2} - 11x + 3 = 0\). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức \(A = x_1^2 + x_2^2\)
- A
\(\dfrac{{109}}{4}\)
- B
\(27\)
- C
\(\dfrac{{121}}{4}\)
- D
\( - \dfrac{{109}}{4}\)
Đáp án : A
Bước 1: Sử dụng hệ thức Vi-et
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)
Bước 2: Biến đổi \(A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}\).
Phương trình \(2{x^2} - 11x + 3 = 0\) có \(\Delta = {\left( { - 11} \right)^2} - 4.2.3 = 97 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\)
Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{11}}{2}\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\).
Ta có \(A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {\dfrac{{11}}{2}} \right)^2} - 2.\dfrac{3}{2} = \dfrac{{109}}{4}\)
Đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh bằng 2 có bán kính là.
- A
$1$
- B
$2$
- C
$\sqrt 2 $
- D
$2\sqrt 2 $
Đáp án : C
Nắm vững định nghĩa đường tròn ngoại tiếp và sử dụng định lý Pi-ta-go để tính cạnh huyền của tam giác vuông cân
Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow O\) là tâm của hình vuông
Vì ABCD là hình vuông nên 2 đường chéo vuông góc với nhau, đồng thời chúng bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường \( \Rightarrow OA \bot OB\) và OA = OB
\( \Rightarrow \Delta OAB\) vuông cân tại O
Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp (O), ta có $AB = OA\sqrt 2 = R\sqrt 2 \Rightarrow R = \dfrac{{AB}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{2}{{\sqrt 2 }} = \sqrt 2 $
Cho tam giác \(ABC\) không cân, nội tiếp đường tròn \(\left( O \right),\,\,BD\) là đường phân giác của góc \(\widehat {ABC}.\) Đường thẳng \(BD\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(E.\) Đường tròn \(\left( {{O_1}} \right)\) đường kính \(DE\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(F.\) Khi đó đường thẳng đối xứng với đường thẳng \(BF\) qua đường thẳng \(BD\) cắt \(AC\) tại \(N\) thì:
- A
\(AN = NC.\)
- B
\(AD = DN.\)
- C
\(AN = 2NC.\)
- D
\(2AN = NC.\)
Đáp án : A
Chứng minh \(N\) là trung điểm của \(AC\) bằng cách gọi \(M\) là trung diểm của \(AC\) rồi chứng minh \(\widehat {FBE} = \widehat {MBE}\), từ đó suy ra \(BM\) đối xứng với \(BF\) qua \(BE\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC.\) Do \(E\) là điểm chính giữa cung \(AC\) nên \(EM \bot AC.\)
Do đó \(EM\) đi qua tâm của đường tròn \(\left( O \right).\) Giả sử rằng \(G = DF \cap \left( O \right).\) Do \(\widehat {DFE} = {90^0},\) nên
\(\widehat {GFE} = {90^0},\) hay \(GE\) là đường kính của \(\left( O \right).\) Suy ra \(G,M,E\) thẳng hàng.
Vì vậy \(\widehat {GBE} = {90^0},\) mà \(\widehat {GMD} = {90^0}.\)
Kéo theo tứ giác \(BDMG\) là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính \(GD.\)
Vì vậy \(\widehat {MBD} = \widehat {DGM} = \widehat {FGE}\,\,\left( 1 \right)\) (cùng chắn cung \(DM)\)
Lại có tứ giác \(BFEG\) là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {FBE} = \widehat {FGE}\,\,\left( 2 \right)\,\) ( cùng chắn cung \(FE\) ).
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta suy ra \(\widehat {MBD} = \widehat {FBE}.\) Do đó \(BF\) và \(BM\) đối xứng nhau qua \(BD.\)
Vì vậy \(M \equiv N\) hay \(N\) là trung điểm của \(AC\) nên \(AN = NC.\)
Chọn câu sai.
- A
Thể tích hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(R\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\)
- B
Thể tích khối cầu có bán kính \(R\) là \(V = \pi {R^3}\)
- C
Diện tích hình cầu có bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\)
- D
Đường sinh của hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(R\) là \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} \)
Đáp án : B
Áp dụng các công thức liên quan đến hình nón và hình cầu
Ta có
+ Thể tích hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(R\) là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {R^2}h\) nên A đúng
+ Diện tích hình cầu có bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\) nên C đúng
+ Đường sinh của hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy \(R\) là \(l = \sqrt {{R^2} + {h^2}} \) nên D đúng
+ Thể tích khối cầu có bán kính \(R\) là \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\) nên B sai.
Biệt thức \(\Delta '\) của phương trình \(3{x^2} - 2mx - 1 = 0\) là
- A \({m^2} + 3.\)
- B \(4{m^2} + 12\).
- C \({m^2} - 3.\)
- D \(4{m^2} - 12.\)
Đáp án : A
Phương trình \(a{x^2} + 2b'x + c = 0\,\,\,\left( {a \ne 0} \right)\) có: \(\Delta ' = b{'^2} - ac.\)
Phương trình \(3{x^2} - 2mx - 1 = 0\) có \(\Delta ' = b{'^2} - ac = {m^2} + 3.\)
Cho hình vẽ. Khi đó đáp án đúng là
- A
\(\widehat {ADC} = {70^0}\)
- B
\(\widehat {ADC} = {80^0}\)
- C
\(\widehat {ADC} = {75^0}\)
- D
\(\widehat {ADC} = {60^0}\)
Đáp án : B
Sử dụng các tính chất:
- Góc nội tiếp cùng chắn một cung trong một đường tròn thì bằng nhau.
- Tổng ba góc trong một tam giác bằng \({180^0}\).
Do tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O,\) nên ta có
$\widehat {CAD} = \widehat {CBD}$ (cùng chắn cung \(CD\) ). Do đó ta có
\(\widehat {CAD} = {40^0}.\)
Tổng ba góc trong một tam giác bằng \({180^0}\)
Nên:
$\begin{array}{l}\widehat {CAD} + \widehat {ACD} + \widehat {ADC} = {180^0}\\ \Rightarrow \widehat {ADC} = {180^0} - \left( {\widehat {CAD} + \widehat {ACD}} \right) \\= {180^0} - \left( {{{40}^0} + {{60}^0}} \right) = {80^0}.\end{array}$
Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m = 0\) (\(x\) là ẩn, \(m\) là tham số) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^3 - x_1^2 = x_2^3 - x_2^2\).
- A \( m = 0\)
- B \( m = - 1\)
- C \( m = 1\)
- D \( m = 2\)
Đáp án : C
Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' > 0\,.\)
Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right..\)
Áp dụng biểu thức đề bài để tìm \(m.\) Đối chiếu với điều kiện có nghiệm của phương trình rồi kết luận.
Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2} \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 4m = {\left( {m - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\,\forall m \in \mathbb{R}\)
\( \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)
Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\{x_1}{x_2} = 4m\end{array} \right..\)
Theo đề bài ta có: \(x_1^3 - x_1^2 = x_2^3 - x_2^2 \Leftrightarrow x_1^3 - x_2^3 - \left( {x_1^2 - x_2^2} \right) = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = {x_2}\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\Delta ' = 0\\{\left( {2m + 2} \right)^2} - 4m - 2m - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} = 0\\4{m^2} + 8m + 4 - 6m - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 = 0\\4{m^2} + 2m + 2 = 0\,(Vô\, nghiệm)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m = 1.\end{array}\)
Vậy \(m = 1\) thỏa mãn bài toán.
Cho hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm. Chọn khẳng định sai?
- A
Khoảng cách từ điểm đó đến hai tiếp điểm là bằng nhau
- B
Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính
- C
Tia nối từ tâm tới điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính
- D
Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi tiếp tuyến
Đáp án : B
Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:
- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.
- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của các góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.
Cho $3$ điểm $A(0;3),B(2;2);C(m + 3;m)$. Giá trị của $m$ để $3$ điểm $A,B,C$ thẳng hàng là:
- A
$1$
- B
$ - 3$
- C
$3$
- D
$ - 1$
Đáp án : A
- Viết phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua 2 điểm cho trước $A;B$.
- Để $3$ điểm $A;B;C$ thẳng hàng thì $C \in (d)$
Gọi $d:y = {\rm{ax}} + b$ là đường thẳng đi qua $A$ và $B$.
$\begin{array}{l}A(0;3) \in d \Leftrightarrow a.0 + b = 3 \Leftrightarrow b = 3\\B(2;2) \in d \Leftrightarrow a.2 + b = 2\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\2a + b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 3\\a = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow d:y = - \dfrac{1}{2}x + 3\end{array}$
Để $3$ điểm $A,B,C$ thẳng hàng thì $C(m + 3;m) \in (d):y = - \dfrac{1}{2}x + 3$
$ \Leftrightarrow m = - \dfrac{1}{2}\left( {m + 3} \right) + 3 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}m = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow m = 1$.
Vậy $m = 1$.
Cho \(P = \sqrt {4{a^2}} {\rm{\;}} - 6a.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
- A \(P = {\rm{\;}} - 4a.\)
- B \(P = {\rm{\;}} - 4\left| a \right|.\)
- C \(P = 2a - 6\left| a \right|.\)
- D \(P = 2\left| a \right| - 6a.\)
Đáp án : D
\(P = \sqrt {4{a^2}} {\rm{\;}} - 6a = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2}} {\rm{\;}} - 6a = \left| {2a} \right| - 6a = 2\left| a \right| - 6a.\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\)cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):y = {m^2}x - {m^4} + 2\) và \(\left( {{d_2}} \right):y = \dfrac{{{m^2}}}{{{m^2} + 1}}x + 2\) (\(m\) là tham số thực khác 0). Tìm tất cả giá trị của tham số \(m\) để \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) cắt nhau tại một điểm A duy nhất sao cho diện tích của hình thang \(ABHK\) bằng \(\dfrac{{15}}{2}.\) Biết \(B\left( { - 1;2} \right)\) và hai điểm \(H,K\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của \(B\) và A lên trục hoành.
- A \(m = \pm 1\)
- B \(m = \pm 2\)
- C \(m \ne 1\)
- D \(m \ne 2\)
Đáp án : A
Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) theo \(m.\)
Rối sử dụng công thức tính diện tích hình thang để tìm \(m.\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\)và \(\left( {{d_2}} \right)\) là:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{m^2}x - {m^4} + 2 = \dfrac{{{m^2}}}{{{m^2} + 1}}x + 2\\ \Leftrightarrow {m^2}\left( {{m^2} + 1} \right)x - {m^2}x = {m^4}\left( {{m^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {m^2}x = {m^2}\left( {{m^2} + 1} \right)\\ \Leftrightarrow x = {m^2} + 1\,\,\,\,\,\left( {m \ne 0} \right)\\ \Rightarrow y = {m^2} + 2 \Rightarrow A\left( {{m^2} + 1;{m^2} + 2} \right)\end{array}\)
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, A lên \(Ox\) nên \(H\left( { - 1;0} \right),K\left( {{m^2} + 1;0} \right)\)
\(\begin{array}{l}{S_{ABHK}} = \dfrac{{15}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {AK + BH} \right)HK}}{2} = \dfrac{{15}}{2}\\ \Leftrightarrow \left( {AK + BH} \right)HK = 15\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 4} \right)\left( {{m^2} + 2} \right) = 15\\ \Leftrightarrow {m^4} + 6{m^2} + 8 = 15\\ \Leftrightarrow {m^4} + 6{m^2} - 7 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right)\left( {{m^2} + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} - 1 = 0\\{m^2} + 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 1 \Rightarrow m = \pm 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\{m^2} = - 7\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m = \pm 1.\)
English
French
Spanish
Russian