Bài 4.27 trang 94 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Một mặt phẳng song song với mặt bên (ABB’A’) của hình hộp và cắt các cạnh AD, BC, A’D, B’C’ lần lượt tại M, N, M’, N’ (H.4.54).

Chứng minh rằng ABNM.A’B’N’M” là hình hộp.

Lời giải chi tiết

\( - \;\)Ta có \(\left( {ABB'C'} \right)\;//\;\left( {MNN'M'} \right),\;\left( {ADD'A'} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = AA',\left( {ADD'A'} \right) \cap \left( {MNN'M'} \right) = MM'\) 

suy ra AA'//MM'

Tương tự, BB' // NN'

ABNM.A'B'N'M' có các cạnh bên đôi một song song, (ABNM) //(A'B'N'M')

Suy ra ABNM.A'B'C'M' là hình lăng trụ.

\( - \;\)Ta có: \(\left( {ABB'C'} \right)\;//\;\left( {MNN'M'} \right),\;\left( {ABNM} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = AB,\left( {ABNM} \right) \cap \left( {MNN'M'} \right) = MN\) 

Suy ra AB//MN.

Ta có có AB // MN, BN// AM  nên tứ giác ABNM là hình bình hành.

Do đó ABNM.A'B'C'M' là hình hộp.