Bài 5.1 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}\);            

b) \(\mathop {lim}\limits_{n \to  + \infty } \left( {\sqrt {{n^2} + 2n}  - n} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) \(\frac{{{n^2} + n + 1}}{{2{n^2} + 1}}\; = \frac{{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}}}{{2 + \frac{1}{{{n^2}}}}}\; = \frac{{\left( {1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\;}}{{\left( {2 + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)\;}} = \frac{1}{2}\)

b)\({v_n}\; = \left( {\sqrt {2{n^2} + 1}  - n} \right)\; = \frac{{{n^2} + 2n - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} + 2n} + n }}\; = \frac{{2n}}{{n\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1 }}\; = \frac{2}{{\sqrt {1 + \frac{2}{n}} + 1 }}\; = 1\)