Giải mục 3 trang 115, 116, 117, 118 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ 4

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}$ có đồ thị như Hình 5.6. Cho $x_n=\frac{1}{n}$, chứng tỏ rằng $f\left(x_n\right)\to +\mathrm{\infty }$

Phương pháp giải:

Giả sử khoảng (a;b) chứa $x_0$ và hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên $\left(a;b\right)\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\}$. Ta nói hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn $+\mathrm{\infty }$ khi $x\to x_0$ nếu dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì, $x_n\in \left(a;b\right)\mathrm{\setminus }\left\{x_0\right\},x_n\to x_0$, ta có $f\left(x_n\right)\to +\mathrm{\infty },$ kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$

Ta nói hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn $-\mathrm{\infty }$ khi $x\to x_0$, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=-\mathrm{\infty }$, nếu $\underset{x\to x_0}{lim}\left[-f\left(x\right)\right]=+\mathrm{\infty }$

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{0\right\}$

$\underset{x\to 0}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{lim}f\left(x_n\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{{\left(\frac{1}{n}\right)}^2}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{n}^2=+\mathrm{\infty }$. 

Vậy $f\left(x_n\right)\to +\mathrm{\infty }$.

HĐ 5

Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}$. Với cá dãy số $\left(x_n\right)$ và $\left({x^{\prime }}_n\right)$ cho bởi $x_n=1+\frac{1}{n},x{}_n^{\prime }=1-\frac{1}{n},$ tính $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}f\left(x_n\right)$ và $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}f\left(x{}_n^{\prime }\right)$.

Phương pháp giải:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(x_0;b\right)$. Ta nói hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn $+\mathrm{\infty }$ khi $x\to x_0$ về bên phải nếu với dãy số $\left(x_0\right)$ bất kì thỏa mãn $x_0<x_n<b,x_n\to x_0$, ta có $f\left(x_n\right)\to +\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$.

Lời giải chi tiết:

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f\left(x_n\right)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{1+\frac{1}{n}-1}=+\mathrm{\infty }$.

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x{}_n^{\prime })=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{1-\frac{1}{n}-1}=-\mathrm{\infty }$.

LT 4

a) $\underset{x\to 0}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{2}{\left|x\right|}$ ;                                 

b) $\underset{x\to 2^{-}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{1}{\sqrt{2-x}}$

Phương pháp giải:

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ xác định trên khoảng $\left(a;x_0\right)$. Ta nói hàm số $f\left(x\right)$ có giới hạn $+\mathrm{\infty }$ khi $x\to x_0$ về bên trái nếu với dãy số $\left(x_n\right)$ bất kì thỏa mãn $a<x_n<x_0,x_n\to x_0$, ta có $f\left(x_n\right)\to +\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=+\mathrm{\infty }$.

Lời giải chi tiết:

a) $\underset{x\to 0}{lim}\frac{2}{\left|x\right|}=+\mathrm{\infty }$.

b)$\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{1}{\sqrt{2-x}}=+\mathrm{\infty }$.

LT 5

Tính:$\underset{x\to 2^{+}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{2x-1}{x-2}$  và $\underset{x\to 2^{-}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}\frac{2x-1}{x-2}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của thương.

Lời giải chi tiết:

$x\to 2^{+}\Rightarrow x-2>0$

$\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{2x-1}{x-2}=\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{2\times 2-1}{x-2}=+\mathrm{\infty }$. 

$x\to 2^{-}\Rightarrow x-2<0$

$\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{2x-2}{x-2}=\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{2\times 2-1}{x-2}=-\mathrm{\infty }$.