Giải mục 2 trang 6, 7 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

HĐ 2

a) Tìm tất cả các số thực x sao cho x² = 4.

b) Tìm tất cả các số thực x sao cho x³ = - 8.

Câu hỏi: Số âm có căn bậc chẵn không? Vì sao?

Phương pháp giải:

Đưa 2 vế về cùng số mũ thì cơ số bằng nhau.

Câu hỏi: dựa vào khái niệm căn bậc chẵn của một số.

Lời giải chi tiết:

a) $x^2=4=2^2={\left(-2\right)}^2\iff x=\pm 2$

b) $x^3=-8={\left(-2\right)}^3\iff x=-2.$

Câu hỏi:

Trong toán học, căn bậc chẵn của một số là một số lớn hơn 0. Do đó số âm không có căn bậc chẵn.

LT 2

Tính:

a) $\sqrt[3]{-125}$;                            

b) $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}.$

Phương pháp giải:

Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu bⁿ = a.

Lời giải chi tiết:

a) $\sqrt[3]{-125}=\sqrt[3]{{\left(-5\right)}^3}=-5.$

b) $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}=\sqrt[4]{{\left(\frac{1}{3}\right)}^4}=\frac{1}{3}.$

HĐ 3

a) Tính và so sánh: $\sqrt[3]{-8}.\sqrt[3]{27}$ và $\sqrt[3]{\left(-8\right).27}.$

b) Tính và so sánh: $\frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}}$ và $\sqrt[3]{\frac{-8}{27}}.$

Phương pháp giải:

Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu bⁿ = a.

Lời giải chi tiết:

a) $\sqrt[3]{-8}.\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{{\left(-2\right)}^3}.\sqrt[3]{3^3}=-2.3=-6$

$\begin{array}{l}\sqrt[3]{\left(-8\right).27}=\sqrt[3]{-216}=\sqrt[3]{{\left(-6\right)}^3}=-6\\ \Rightarrow \sqrt[3]{-8}.\sqrt[3]{27}=\sqrt[3]{\left(-8\right).27}\end{array}$

b) $\frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{\sqrt[3]{{\left(-2\right)}^3}}{\sqrt[3]{3^3}}=\frac{-2}{3}$

$\begin{array}{l}\sqrt[3]{\frac{-8}{27}}=\sqrt[3]{{\left(\frac{-2}{3}\right)}^3}=\frac{-2}{3}\\ \Rightarrow \frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}}=\sqrt[3]{\frac{-8}{27}}.\end{array}$

LT 3

Tính:

a) $\sqrt[3]{5}:\sqrt[3]{625};$                          

b) $\sqrt[5]{-25\sqrt{5}}.$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}};{\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$

Lời giải chi tiết:

a) $\sqrt[3]{5}:\sqrt[3]{625}=\sqrt[3]{\frac{5}{625}}=\sqrt[3]{\frac{1}{125}}=\sqrt[3]{{\left(\frac{1}{5}\right)}^3}=\frac{1}{5}.$

b) $\sqrt[5]{-25\sqrt{5}}=\sqrt[5]{{\left(-\sqrt{5}\right)}^5}=-\sqrt{5}$

HĐ 4

Cho a là một số thực dương.

a) Với n là số nguyên dương, hãy thử định nghĩa $a^{\frac{1}{n}}$ sao cho ${\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^n=a.$

b) Từ kết quả của câu a, hãy thử định nghĩa $a^{\frac{m}{n}},$ với m là số nguyên và n là số nguyên dương, sao cho $a^{\frac{m}{n}}={\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m.$

Câu hỏi: Vì sao trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ lại cần điều kiện cơ số a > 0?

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$

Câu hỏi: Lấy ví dụ để chứng minh nếu $a\le 0$ dẫn đến mâu thuẫn.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$ mà ${\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^n=a$ nên ${\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^n=\sqrt[n]{a}\Rightarrow a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

b) Theo câu a ta có $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$ mà $a^{\frac{m}{n}}={\left(a^{\frac{1}{n}}\right)}^m$ nên $a^{\frac{m}{n}}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}$

Câu hỏi: 

+ Giả sử định nghĩa lũy thừa với số mũ r là đúng với a < 0.

Xét lũy thừa $(-1)^{\frac{1}{3}}$. Theo định nghĩa ta có $(-1)^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{(-1)^1}=-1$

Mặt khác, do $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ nên $(-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}$. Áp dụng định nghĩa ta lại có $(-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=1$.

Như vậy, từ định nghĩa ta chứng minh được $-1=1$
$ -1=\sqrt[3]{-1}=(-1)^{\frac{1}{3}}=(-1)^{\frac{2}{6}}=\sqrt[6]{(-1)^2}=1 $

Có thể nói, trong tình huống này định nghĩa với cơ số âm đã tự mâu thuẫn.

+ Lũy thừa có số mũ hữu tỉ với cơ số a = 0 thì dẫn đến vô nghĩa nếu mũ âm. Ví dụ $0^{\frac{-1}{2}}= \sqrt{0^{-1}} = \sqrt{\frac{1}{0}}$

Như vậy trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ cần điều kiện cơ số a > 0

LT 4

Rút gọn biểu thức: $A=\frac{x^{\frac{3}{2}}y+x{y}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\left(x,y>0\right).$

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$

Lời giải chi tiết:

$A=\frac{x^{\frac{3}{2}}y+x{y}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\frac{xy\left(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}\right)}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}=xy.$