Bài 7.41 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại \(S\) và \((SAD) \bot (ABCD)\).

a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

Lời giải chi tiết

a) Trong (SAD) kẻ \(SE \bot AD\)

Mà \(\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right),\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD \Rightarrow SE \bot \left( {ABCD} \right)\)

Xét tam giác SAD vuông cân tại S có

\(SE \bot AD\)

\( \Rightarrow \) E là trung điểm của AD

\( \Rightarrow SE = \frac{{AD}}{2} = \frac{a}{2}\)

Diện tích hình vuông ABCD là \({S_{ABCD}} = {a^2}\)

Thể tích khối chóp là \(V = \frac{1}{3}SE.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}}}{6}\)

b) Trong (ABCD) kẻ EF // AB mà \(AB \bot BC \Rightarrow EF \bot BC\)

mà \(SE \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SEF} \right);BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SEF} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)

\(\left( {SEF} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SF\)

Trong (SEF) kẻ \(EG \bot SF\)

\( \Rightarrow EG \bot \left( {SBC} \right)\)

Ta có AD // BC nên AD // (SBC)

\( \Rightarrow d\left( {AD,SC} \right) = d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {E,\left( {SBC} \right)} \right) = EG\)

Vì ABCD là hình vuông và EF // AB nên EF = AB = a

Xét tam giác SEF vuông tại E có

\(\frac{1}{{E{G^2}}} = \frac{1}{{S{E^2}}} + \frac{1}{{E{F^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow EG = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\)

Vậy \(d\left( {AD,SC} \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}\)