Giải mục 1 trang 57, 58 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 1

a) Tính thương của hai số hạng liên tiếp trong dãy số: \(2;4;8;16;32;64\).

b) Tìm điểm giống nhau của các dãy số sau:

i) \(3;6;12;24;48\).                                

ii) \(1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};\frac{1}{{16}}\).           

iii) \(2; - 6;18; - 54;162; - 486\).

Phương pháp giải:

Xem hai số hạng liên tiếp của dãy có liên hệ gì.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\frac{4}{2} = 2;\frac{8}{4} = 2;\frac{{16}}{8} = 2;\frac{{32}}{{16}} = 2;\frac{{64}}{{32}} = 2\).

b) Ta thấy:

i) Số sau bằng số liền trước nhân với 2.

ii) Số sau bằng số liền trước nhân với \(\frac{1}{2}\).

ii) Số sau bằng số liền trước nhân với \( - 3\).

Điểm giống nhau của các dãy số này là số sau bằng số liền trước nhân với một số không đổi.

Thực hành 1

Cho ba số tự nhiên \(m,n,p\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chứng minh ba số \({2^m},{2^n},{2^p}\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Phương pháp giải:

Chứng minh \({\left( {{2^n}} \right)^2} = {2^m}{.2^p}\).

Lời giải chi tiết:

Ba số tự nhiên \(m,n,p\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng nên ta có: \(2n = m + p\).

Ta có: \(2n = m + p \Leftrightarrow {2^{2n}} = {2^{m + p}} \Leftrightarrow {\left( {{2^n}} \right)^2} = {2^m}{.2^p}\).

Vậy ba số \({2^m},{2^n},{2^p}\) theo thứ tự lập thành cấp số nhân.

Vận dụng 1

Một quốc gia có dân số năm 2011 là \(P\) triệu người. Trong 10 năm tiếp theo, mỗi năm dân số tăng \(a\% \). Chứng minh rằng dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạo thành cấp số nhân. Tìm công bội của cấp số nhân này.

Phương pháp giải:

Biến đổi, đưa \({u_{n + 1}} = {u_n}.q\), khi đó dãy số là cấp số nhân có công bội \(q\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử dân số của quốc gia đó từ năm 2011 đến năm 2021 là dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_1} = P\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{u_1} = P\\{u_2} = {u_1} + {u_1}.\frac{a}{{100}} = {u_1}.\left( {1 + \frac{a}{{100}}} \right)\\{u_3} = {u_2} + {u_2}.\frac{a}{{100}} = {u_2}\left( {1 + \frac{a}{{100}}} \right)\\{u_4} = {u_3} + {u_3}.\frac{a}{{100}} = {u_3}\left( {1 + \frac{a}{{100}}} \right)\\ \vdots \\{u_{11}} = {u_{10}} + {u_{10}}.\frac{a}{{100}} = {u_{10}}\left( {1 + \frac{a}{{100}}} \right)\end{array}\)

Vậy dân số các năm từ năm 2011 đến năm 2021 của quốc gia đó tạo thành cấp số nhân với công bội \(q = 1 + \frac{a}{{100}}\).

Vận dụng 2

Tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn organ tạo thành cấp số nhân. Biết tần số của hai phim Sol và Si lần lượt là 415 Hz và 466 Hz (theo: https://vi.wikipedia.org/wiki/Đô_(nốt nhạc)). Tính tần số của phím La (làm tròn đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của cấp số nhân: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì \(u_n^2 = {u_{n - 1}}.{u_{n + 1}}\) với \(n \ge 2\).

Lời giải chi tiết:

Giả sử tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn organ lần lượt là \({u_1};{u_2};{u_3}\) (Hz) \(\left( {{u_1};{u_2};{u_3} > 0} \right)\).

Theo đề bài ta có: \({u_1} = 415;{u_3} = 466\)

Tần số của ba phím liên tiếp Sol, La, Si trên một cây đàn organ tạo thành cấp số nhân nên ta có: \(u_2^2 = {u_1}.{u_3} = 415.466 = 193390 \Leftrightarrow {u_2} = \sqrt {193390}  \approx 440\) (Hz).

Vậy tần số của phím La là 440 Hz.