Bài 11 trang 62 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của cấp số cộng $\left(u_n\right)$, biết:

a) $\{\begin{array}{l}5u_1+10u_5=0\\ S_4=14\end{array}$;       

b) $\{\begin{array}{l}{u}_7+u_{15}=60\\ u_4^2+u_{12}^2=1170\end{array}$.

Lời giải chi tiết

a)

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}5u_1+10u_5=0\\ S_4=14\end{array}\iff \{\begin{array}{c}5u_1+10\left(u_1+4\mathrm{d}\right)=0\\ \frac{4\left(2u_1+3\mathrm{d}\right)}{2}=14\end{array}\iff \{\begin{array}{c}5u_1+10u_1+40\mathrm{d}=0\\ 2\left(2u_1+3\mathrm{d}\right)=14\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}15u_1+40\mathrm{d}=0\\ 2u_1+3\mathrm{d}=7\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{u}_1=8\\ d=-3\end{array}\end{array}$

Vậy cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1=8$ và công sai $d=-3$.

b)

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}{u}_7+u_{15}=60\\ u_4^2+u_{12}^2=1170\end{array}\iff \{\begin{array}{c}\left(u_1+6\mathrm{d}\right)+\left(u_1+14\mathrm{d}\right)=60\\ {\left(u_1+3\mathrm{d}\right)}^2+{\left(u_1+11\mathrm{d}\right)}^2=1170\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{u}_1+6\mathrm{d}+u_1+14\mathrm{d}=60\\ {\left(u_1+3\mathrm{d}\right)}^2+{\left(u_1+11\mathrm{d}\right)}^2=1170\end{array}\\ \iff \{\begin{array}{c}2u_1+20\mathrm{d}=60\\ {\left(u_1+3\mathrm{d}\right)}^2+{\left(u_1+11\mathrm{d}\right)}^2=1170\end{array}\iff \{\begin{array}{c}{u}_1+10\mathrm{d}=30\left(1\right)\\ {\left(u_1+3\mathrm{d}\right)}^2+{\left(u_1+11\mathrm{d}\right)}^2=1170\left(2\right)\end{array}\end{array}$

$\left(1\right)\iff u_1=30-10\mathrm{d}$ thế vào (2) ta được:

$\begin{array}{l}{\left(30-10\mathrm{d}+3\mathrm{d}\right)}^2+{\left(30-10\mathrm{d}+11\mathrm{d}\right)}^2=1170\iff {\left(30-7\mathrm{d}\right)}^2+{\left(30+\mathrm{d}\right)}^2=1170\\ \iff 900-420\mathrm{d}+49{\mathrm{d}}^2+900+60\mathrm{d}+d^2=1170\iff 50{\mathrm{d}}^2-360\mathrm{d}+630=0\\ \iff 5{\mathrm{d}}^2-36\mathrm{d}+63=0\iff [\begin{array}{c}d=3\\ d=\frac{21}{5}\end{array}\end{array}$

Với $d=3\iff u_1=30-10.3=0$.

Với $d=\frac{21}{5}\iff u_1=30-10.\frac{21}{5}=-12$.

Vậy có hai cấp số cộng $\left(u_n\right)$ thoả mãn:

‒ Cấp số cộng có số hạng đầu $u_1=0$ và công sai $d=3$.

‒ Cấp số cộng có số hạng đầu $u_1=-12$ và công sai $d=\frac{21}{5}$.