Giải mục 4 trang 83, 84 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 4

Cho hai hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}$ và $y=g\left(x\right)=\sqrt{4-x}$.

Hàm số $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ có liên tục tại $x=2$ không? Giải thích.

Phương pháp giải:

Xét tính liên tục của hàm số $h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ tại $x=2$:

Bước 1: Kiểm tra  x = 2 có thuộc tập xác định không. Tính $h\left(2\right)$.

Bước 2: Tính $\underset{x\to 2}{lim}h\left(x\right)$.

Bước 3: Kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt $h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)=\frac{1}{x-1}+\sqrt{4-x}$. Ta có:

$\begin{array}{l}h\left(2\right)=\frac{1}{2-1}+\sqrt{4-2}=1+\sqrt{2}\\ \underset{x\to 2}{lim}h\left(x\right)=\underset{x\to x}{lim}\left(\frac{1}{x-1}+\sqrt{4-x}\right)=\frac{1}{2-1}+\sqrt{4-2}=1+\sqrt{2}\end{array}$

Vì $\underset{x\to 2}{lim}h\left(x\right)=h\left(2\right)$ nên hàm số $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$ liên tục tại $x=2$.

Thực hành 4

Xét tính liên tục của các hàm số:

a) $y=\sqrt{x^2+1}+3-x$;                                       

b) $y=\frac{x^2-1}{x}.\cos x$.

Phương pháp giải:

Đưa hàm số thành tổng, hiệu, tích của hai hàm số rồi xét tính liên tục của hai hàm số đó.

Lời giải chi tiết:

a) TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Hàm số $y=\sqrt{x^2+1}$ xác định trên $\mathbb{R}$ nên liên tục trên $\mathbb{R}$.

Hàm số $y=3-x$ là đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$.

Vậy hàm số $y=\sqrt{x^2+1}+3-x$ cũng liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) TXĐ: $D=\mathbb{R}\mathrm{\setminus }\left\{0\right\}$

Hàm số $y=\frac{x^2-1}{x}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Hàm số $y=\cos x$ là hàm lượng giác nên liên tục trên $\mathbb{R}$. Vậy hàm số $y=\cos x$ cũng liên tục trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Vậy hàm số $y=\frac{x^2-1}{x}.\cos x$ liên tục trên các khoảng $\left(-\mathrm{\infty };0\right)$ và $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Vận dụng 3

Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho đường tròn $\left(C\right)$ tâm $O$, bán kính bằng 1. Một đường thẳng $d$ thay đổi, luôn vuông góc với trục hoành, cắt trục hoành tại điểm $M$ có hoành độ $x\left(-1<x<1\right)$ và cắt đường tròn $\left(C\right)$ tại các điểm $N$ và $P$ (xem Hình 6).

a) Viết biểu thức $S\left(x\right)$ biểu thị diện tích của tam giác $ONP$.

b) Hàm số $y=S\left(x\right)$ có liên tục trên $\left(-1;1\right)$ không? Giải thích.

c) Tìm các giới hạn $\underset{x\to 1^{-}}{lim}S\left(x\right)$ và $\underset{x\to -1^{+}}{lim}S\left(x\right)$.

Phương pháp giải:

a) Viết hàm số biểu thị phương trình đường tròn $\left(C\right)$, dựa vào dữ kiện của đề bài, tính $OM,NP$ sau đó tính diện tích $S\left(x\right)$ của tam giác $ONP$.

b) Sử dụng tính chất liên tục của các hàm số sơ cấp.

c) Áp dụng các công thức tính giới hạn của hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $\left(C\right):x^2+y^2=1\iff y=\pm \sqrt{1-x^2}$.

Độ dài $OM$ chính là giá trị tuyệt đối của hoành độ của điểm $M$. Vậy $OM=\left|x\right|$.

Độ dài $MN$ chính là giá trị tuyệt đối của tung độ của điểm $N$. Vậy $MN=\left|\sqrt{1-x^2}\right|=\sqrt{1-x^2}$.

$S\left(x\right)=S_{ONP}=\frac{1}{2}.NP.OM=MN.OM=\sqrt{1-x^2}.\left|x\right|$.

b) Xét hàm số  $S\left(x\right)=\sqrt{1-x^2}.\left|x\right|=\{\begin{array}{cc}x\sqrt{1-x^2}& khi0\le x\le 1\\ -x\sqrt{1-x^2}& khi-1\le x<0\end{array}$.

ĐKXĐ: $1-x^2\ge 0\iff -1\le x\le 1$

Hàm số $S\left(x\right)$ có tập xác định là $\left[-1;1\right]$.

Vậy hàm số $S\left(x\right)$ xác định trên các khoảng $\left(-1;0\right)$ và $\left(0;1\right)$ nên liên tục trên các khoảng $\left(-1;0\right)$ và $\left(0;1\right)$.

Ta có: $S\left(0\right)=0.\sqrt{1-0^2}=0$

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}S\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\left(x\sqrt{1-x^2}\right)=0.\sqrt{1-0^2}=0$

$\underset{x\to 0^{-}}{lim}S\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\left(-x\sqrt{1-x^2}\right)=-0.\sqrt{1-0^2}=0$

Vì $\underset{x\to 0^{+}}{lim}S\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{lim}S\left(x\right)=0$ nên $\underset{x\to 0}{lim}S\left(x\right)=0=S\left(0\right)$

Vậy hàm số $S\left(x\right)$ liên tục tại điểm $x_0=0$. Vậy hàm số $S\left(x\right)$ liên tục trên $\left(-1;1\right)$.

c) $\underset{x\to 1^{-}}{lim}S\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{lim}\left(x\sqrt{1-x^2}\right)=1.\sqrt{1-1^2}=0$

$\underset{x\to -1^{+}}{lim}S\left(x\right)=\underset{x\to -1^{+}}{lim}\left(-x\sqrt{1-x^2}\right)=-1.\sqrt{1-{\left(-1\right)}^2}=0$