Bài 1 trang 119 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

7 tháng trước

Đề bài

Trong mặt phẳng $(P)$ cho hình bình hành $A B C D$ . Ta dựng các nửa đường thẳng song song với nhau và nằm về một phía đối với $(P)$ lần lượt đi qua các điểm $A, B, C, D$ . Một mặt phẳng $(Q)$ cắt bốn nửa đường thẳng nói trên tại $A^{'}, B^{'}, C^{'}, D^{'}$ . Chứng minh rằng:

$A A^{'} + C C^{'} = B B^{'} + D D^{'}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng định lí 3: Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau. Nếu $(R)$ cắt $(P)$ thì cắt $(Q)$ và hai giao tuyến của chúng song song.

‒ Sử dụng tính chất đường trung bình của hình thang.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\begin{array}{l} A A^{'} ∥ D D^{'} \\ D D^{'} \subset (C C^{'} D^{'} D) \end{array}} \Rightarrow A A^{'} ∥ (C C^{'} D^{'} D)$

$\begin{array}{l} A B ∥ C D \\ C D \subset (C C^{'} D^{'} D) \end{array}} \Rightarrow A B ∥ (C C^{'} D^{'} D)$

$\begin{array}{l} A A^{'} ∥ (C C^{'} D^{'} D) \\ A B ∥ (C C^{'} D^{'} D) \\ A A^{'}, A B \subset (A A^{'} B^{'} B) \end{array}} \Rightarrow (A A^{'} B^{'} B) ∥ (C C^{'} D^{'} D)$

$\begin{array}{l} (A A^{'} B^{'} B) ∥ (C C^{'} D^{'} D) \\ (P) \cap (A A^{'} B^{'} B) = A^{'} B^{'} \\ (P) \cap (C C^{'} D^{'} D) = C^{'} D^{'} \end{array}} \Rightarrow A^{'} B^{'} ∥ C^{'} D^{'} (1)$

$\begin{array}{l} A D ∥ B C \\ B C \subset (B B^{'} C^{'} C) \end{array}} \Rightarrow A D ∥ (B B^{'} C^{'} C)$

$\begin{array}{l} A A^{'} ∥ B B^{'} \\ B B^{'} \subset (B B^{'} C^{'} C) \end{array}} \Rightarrow A A^{'} ∥ (B B^{'} C^{'} C)$

$\begin{array}{l} A A^{'} ∥ (B B^{'} C^{'} C) \\ A D ∥ (B B^{'} C^{'} C) \\ A A^{'}, A D \subset (A A^{'} D^{'} D) \end{array}} \Rightarrow (A A^{'} D^{'} D) ∥ (B B^{'} C^{'} C)$

$\begin{array}{l} (A A^{'} D^{'} D) ∥ (B B^{'} C^{'} C) \\ (P) \cap (A A^{'} D^{'} D) = A^{'} D^{'} \\ (P) \cap (B B^{'} C^{'} C) = B^{'} C^{'} \end{array}} \Rightarrow A^{'} D^{'} ∥ B^{'} C^{'} (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ là hình bình hành.

Gọi $O = A C \cap B D, O^{'} = A^{'} C^{'} \cap B^{'} D^{'}$

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $A C, B D$ , $O^{'}$ là trung điểm của $A^{'} C^{'}, B^{'} D^{'}$ .

$\begin{array}{l} (A A^{'} B^{'} B) ∥ (C C^{'} D^{'} D) \\ (A A^{'} C^{'} C) \cap (A A^{'} B^{'} B) = A A^{'} \\ (A A^{'} C^{'} C) \cap (C C^{'} D^{'} D) = C C^{'} \end{array}} \Rightarrow A A^{'} ∥ C C^{'}$

$\Rightarrow A A^{'} C^{'} C$ là hình thang

$O$ là trung điểm của $A C$

$O^{'}$ là trung điểm của $A^{'} C^{'}$

$\Rightarrow O O^{'}$ là đường trung bình của hình thang $A A^{'} C^{'} C$

$\Rightarrow A A^{'} + C C^{'} = 2 O O^{'} (3)$

$\begin{array}{l} (A A^{'} B^{'} B) ∥ (C C^{'} D^{'} D) \\ (B B^{'} D^{'} D) \cap (A A^{'} B^{'} B) = B B^{'} \\ (B B^{'} D^{'} D) \cap (C C^{'} D^{'} D) = D D^{'} \end{array}} \Rightarrow B B^{'} ∥ D D^{'}$

$\Rightarrow B B^{'} D^{'} D$ là hình thang

$O$ là trung điểm của $B D$

$O^{'}$ là trung điểm của $B^{'} D^{'}$

$\Rightarrow O O^{'}$ là đường trung bình của hình thang $B B^{'} D^{'} D$

$\Rightarrow B B^{'} + D D^{'} = 2 O O^{'} (4)$

Từ (3) và (4) suy ra $A A^{'} + C C^{'} = B B^{'} + D D^{'} (= 2 O O^{'})$ .

Bạn muốn hỏi điều gì?

Đặt Câu Hỏi

We using AI and power community to slove your question

Mẹo tìm đáp án nhanh

Search Google: "từ khóa + hoctot.me" Ví dụ: "Bài 1 trang 15 SGK Vật lí 11 hoctot.me"