Bài 4 trang 126 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hai điểm $A,B$ nằm ngoài mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và đường thẳng $d$ cắt $\left(\alpha \right)$. Giả sử đường thẳng $AB$ cắt $\left(\alpha \right)$ tại điểm $O$. Gọi $A^{\prime }$ và $B^{\prime }$ lần lượt là hình chiếu song song của $A$ và $B$ trên $\left(\alpha \right)$ theo phương của đường thẳng $d$. Ba điểm $O,A^{\prime },B^{\prime }$ có thẳng hàng không? Vì sao? Chọn $d$ sao cho:

a) $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$;                                                                          

b) $A^{\prime }{B}^{\prime }=2AB$.

Lời giải chi tiết

Vì $O\in \left(\alpha \right)$ nên $O$ là hình chiếu của chính nó lên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ theo phương $d$.

Vì ba điểm $O,A,B$ thẳng hàng nên ba điểm $O,A^{\prime },B^{\prime }$ thẳng hàng.

$A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\Rightarrow \frac{AB}{OA}=\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{O{A}^{\prime }}\iff \frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{O{A}^{\prime }}{OA}$

a) Để $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$ thì $O{A}^{\prime }=OA$.

Vậy đường thẳng $d$ song song với $A{A}^{\prime }$ và $O{A}^{\prime }=OA$.

b) Để $A^{\prime }{B}^{\prime }=2AB$ thì $O{A}^{\prime }=2OA$.

Vậy đường thẳng $d$ song song với $A{A}^{\prime }$ và $O{A}^{\prime }=2OA$.