Giải mục 4 trang 31, 32 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 6

Biết rằng máu của người bình thường có độ pH từ 7,30 đến 7,45 (nguồn: Hoá học 11, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2017, trang 15). Nồng độ H⁺ trong máu nhận giá trị trong miền nào?

Phương pháp giải:

Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $pH=-\log x$.

Lời giải chi tiết:

$pH=-\log x={\log }_{{10}^{-1}}x={\log }_{\frac{1}{10}}x$

Do $0<\frac{1}{10}<1$ nên hàm số $pH={\log }_{\frac{1}{10}}x$ nghịch biến trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Ta có:

$\begin{array}{l}pH=7,3\iff 7,3={\log }_{\frac{1}{10}}x\iff x={\left(\frac{1}{10}\right)}^{7,3}\approx 5,{01.10}^{-8}\\ pH=7,45\iff 7,45={\log }_{\frac{1}{10}}x\iff x={\left(\frac{1}{10}\right)}^{7,45}\approx 3,{55.10}^{-8}\end{array}$

Vì hàm số nghịch biến trên $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$ nên nồng độ H⁺ trong máu nhận giá trị trong miền từ $3,{55.10}^{-8}$ đến $5,{01.10}^{-8}$.

Thực hành 4

Giải các bất phương trình sau:

a) ${\log }_{\frac{1}{3}}\left(x+1\right)<2$;   

b) ${\log }_5\left(x+2\right)\le 1$.

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm ĐKXĐ.

Bước 2: Đưa 2 vế của phương trình về cùng cơ số và giải phương trình.

Bước 3: Kết luận.

Lời giải chi tiết:

a) ${\log }_{\frac{1}{3}}\left(x+1\right)<2$

Điều kiện: $x+1>0\iff x>-1$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x>-\frac{8}{9}$.

b) ${\log }_5\left(x+2\right)\le 1$

Điều kiện: $x+2>0\iff x>-2$

$BPT\iff x+2\le 5^1\iff x+2\le 5\iff x\le 3$

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là $-2<x\le 3$.

Vận dụng 2

Nước uống đạt tiêu chuẩn phải có độ pH nằm trong khoảng từ 6,5 đến 8,5 (theo Quy chuẩn Việt Nam QCVN 01:2009/BYT). Nồng độ H⁺ trong nước uống tiêu chuẩn phải nằm trong khoảng nào?

Phương pháp giải:

Giải bất phương trình $6,5\le pH\le 8,5$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\begin{array}{l}6,5\le pH\le 8,5\iff 6,5\le -\log x\le 8,5\iff \iff -6,5\ge \log x\ge -8,5\\ \iff {10}^{-6,5}\ge x\ge {10}^{-8,5}\iff 3,{16.10}^{-7}\ge x\ge 3,{16.10}^{-9}\end{array}$

Vậy nồng độ H⁺ trong nước uống tiêu chuẩn phải nằm trong khoảng từ $3,{16.10}^{-9}$ đến $3,{16.10}^{-7}$.