Bài 16 trang 35 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Giải các bất phương trình:

a) \({\left( {\frac{1}{9}} \right)^{x + 1}} > \frac{1}{{81}}\);

b) \({\left( {\sqrt[4]{3}} \right)^x} \le {27.3^x}\);

c) \({\log _2}\left( {x + 1} \right) \le {\log _2}\left( {2 - 4{\rm{x}}} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) \({\left( {\frac{1}{9}} \right)^{x + 1}} > \frac{1}{{81}} \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{9}} \right)^{x + 1}} > {\left( {\frac{1}{9}} \right)^2} \Leftrightarrow x + 1 < 2\) (do \(0 < \frac{1}{9} < 1\)) \( \Leftrightarrow x < 1\).

b) \({\left( {\sqrt[4]{3}} \right)^x} \le {27.3^x} \Leftrightarrow {\left( {{3^{\frac{1}{4}}}} \right)^x} \le {3^3}{.3^x} \Leftrightarrow {3^{\frac{x}{4}}} \le {3^{3 + x}} \Leftrightarrow \frac{x}{4} \le 3 + x\) (do \(3 > 1\))

\( \Leftrightarrow  - \frac{3}{4}x \le 3 \Leftrightarrow x \ge  - 4\).

c) \({\log _2}\left( {x + 1} \right) \le {\log _2}\left( {2 - 4{\rm{x}}} \right)\)

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 1 > 0\\2 - 4{\rm{x}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 1\\x < \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 < x < \frac{1}{2}\)

\(BPT \Leftrightarrow x + 1 \le 2 - 4{\rm{x}} \Leftrightarrow 5{\rm{x}} \le 1 \Leftrightarrow x \le \frac{1}{5}\)

Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là \( - 1 < x \le \frac{1}{5}\).