Giải mục 4 trang 44 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 4

Cho biết $\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x-1}{x}=1$ và $\underset{x\to 0}{lim}\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}=1$. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:

a) $y=e^x$;

b) $y=\ln x$.

Phương pháp giải:

Tính giới hạn $f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$.

Lời giải chi tiết:

a) Với bất kì $x_0\in \mathbb{R}$, ta có:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{e^x-e^{x_0}}{x-x_0}$

Đặt $x=x_0+\mathrm{\Delta }x$. Ta có:

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{e^{x_0+\mathrm{\Delta }x}-e^{x_0}}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{e^{x_0}.e^{\mathrm{\Delta }x}-e^{x_0}}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{e^{x_0}.\left(e^{\mathrm{\Delta }x}-1\right)}{\mathrm{\Delta }x}\\ & =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}{e}^{x_0}.\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{e^{\mathrm{\Delta }x}-1}{\mathrm{\Delta }x}=e^{x_0}.1=e^{x_0}\end{array}$

Vậy ${\left(e^x\right)}^{\prime }=e^x$ trên $\mathbb{R}$.

b) Với bất kì $x_0>0$, ta có:

$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\ln \mathrm{x}-\ln {\mathrm{x}}_0}{x-x_0}$

Đặt $x=x_0+\mathrm{\Delta }x$. Ta có:

$\begin{array}{l}{f}^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\ln \left(x_0+\mathrm{\Delta }x\right)-\ln {\mathrm{x}}_0}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\ln \left(\frac{x_0+\mathrm{\Delta }x}{{\mathrm{x}}_0}\right)}{\mathrm{\Delta }x}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\ln \left(1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{{\mathrm{x}}_0}\right)}{\mathrm{\Delta }x}\\ =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{1}{x_0}.\frac{\ln \left(1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{{\mathrm{x}}_0}\right)}{\frac{\mathrm{\Delta }x}{x_0}}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{1}{x_0}.\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\ln \left(1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{{\mathrm{x}}_0}\right)}{\frac{\mathrm{\Delta }x}{x_0}}\end{array}$

Đặt $\frac{\mathrm{\Delta }x}{x_0}=t$. Lại có: $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{1}{x_0}=\frac{1}{x_0};\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\ln \left(1+\frac{\mathrm{\Delta }x}{{\mathrm{x}}_0}\right)}{\frac{\mathrm{\Delta }x}{x_0}}=\underset{t\to 0}{lim}\frac{\ln \left(1+t\right)}{t}=1$

Vậy $f^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{1}{x_0}.1=\frac{1}{x_0}$

Vậy ${\left(\ln x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ trên khoảng $\left(0;+\mathrm{\infty }\right)$.

Thực hành 5

Tìm đạo hàm của các hàm số:

a) $y=9^x$ tại $x=1$;                           

b) $y=\ln x$ tại $x=\frac{1}{3}$.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức ${\left(a^x\right)}^{\prime }=a^x\ln a;{\left(\ln \mathrm{x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $y^{\prime }={\left(9^x\right)}^{\prime }=9^x\ln 9$.

Từ đó: $y^{\prime }\left(1\right)=9^1\ln 9=9\ln 9$.

b) Ta có: $y^{\prime }={\left(\ln x\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}$.

Từ đó: $y^{\prime }\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3$.