Giải mục 1 trang 54, 55 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 1

Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$ trong không gian. Qua một điểm $M$ tuỳ ý vẽ $a^{\prime }\parallel a$ và vẽ $b^{\prime }\parallel b$. Khi thay đổi vị trí của điểm $M$, có nhận xét gì về góc giữa $a^{\prime }$ và $b^{\prime }$?

Phương pháp giải:

Quan sát hình ảnh và nhận xét.

Lời giải chi tiết:

Khi thay đổi vị trí của điểm $M$, góc giữa $a^{\prime }$ và $b^{\prime }$ không đổi.

Thực hành 1

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có 6 mặt đều là hình vuông  $M,N,E,F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $BC,BA,A{A}^{\prime },A^{\prime }{D}^{\prime }$. Tính góc giữa các cặp đường thẳng:

a) $MN$ và $D{D}^{\prime }$;            

b) $MN$ và $C{D}^{\prime }$;            

c) $EF$ và $C{C}^{\prime }$.

Phương pháp giải:

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$:

Bước 1: Lấy một điểm $O$ bất kì.

Bước 2: Qua điểm $O$ dựng đường thẳng $a^{\prime }\parallel a$ và đường thẳng $b^{\prime }\parallel b$.

Bước 3: Tính $\left(a,b\right)=\left(a^{\prime },b^{\prime }\right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: $M$ là trung điểm của $BC$

$N$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\Rightarrow MN\parallel AC$

Mà $D{D}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$

$\Rightarrow \left(MN,D{D}^{\prime }\right)=\left(AC,A{A}^{\prime }\right)=\widehat{A^{\prime }AC}={90}^{\circ }$.

b) Ta có: $MN\parallel AC$

$\Rightarrow \left(MN,C{D}^{\prime }\right)=\left(AC,C{\mathrm{D}}^{\prime }\right)=\widehat{AC{\mathrm{D}}^{\prime }}$

Vì $ABC\mathrm{D},AD{D}^{\prime }{A}^{\prime },C{\mathrm{D}\mathrm{D}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }$ là các hình vuông bằng nhau nên các đường chéo của chúng bằng nhau. Vậy $AC=A{\mathrm{D}}^{\prime }=C{\mathrm{D}}^{\prime }$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }AC{\mathrm{D}}^{\prime }$ là tam giác đều $\Rightarrow \widehat{AC{\mathrm{D}}^{\prime }}={60}^{\circ }$.

Vậy $\left(MN,C{D}^{\prime }\right)={60}^{\circ }$.

Vận dụng 1

Khung của một mái nhà được ghép bởi các thanh gỗ như Hình 3. Cho biết tam giác $OMN$ vuông cân tại $O$. Tính góc giữa hai thanh gỗ $a$ và $b$.

Phương pháp giải:

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$:

Bước 1: Lấy một điểm $O$ bất kì.

Bước 2: Qua điểm $O$ dựng đường thẳng $a^{\prime }\parallel a$ và đường thẳng $b^{\prime }\parallel b$.

Bước 3: Tính $\left(a,b\right)=\left(a^{\prime },b^{\prime }\right)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $a\parallel OM\Rightarrow \left(a,b\right)=\left(OM,b\right)=\widehat{MON}={90}^{\circ }$.