Bài 3 trang 73 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$, $A{A}^{\prime }=2a,AD=2a,AB=BC=a$.

a) Tính độ dài đoạn thẳng $A{C}^{\prime }$.

b) Tính tổng diện tích các mặt của hình lăng trụ.

Lời giải chi tiết

a) $\mathrm{\Delta }ABC$ vuông cân tại $B\Rightarrow AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{2}$

$C{C}^{\prime }=A{A}^{\prime }=2a$

$C{C}^{\prime }\mathrm{\perp }\left(ABCD\right)\Rightarrow C{C}^{\prime }\mathrm{\perp }AC$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }AC{C}^{\prime }$ vuông tại $C\Rightarrow A{C}^{\prime }=\sqrt{A{C}^2+CC{}^{\prime 2}}=a\sqrt{6}$

b) $S_{ABC\mathrm{D}}=S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\left(A\mathrm{D}+BC\right).AB=\frac{3a^2}{2}$

Gọi $M$ là trung điểm của $AD$

$\Rightarrow ABCM$ là hình vuông$\Rightarrow MC=M\mathrm{D}=MA=\frac{1}{2}A\mathrm{D}=a$

$\mathrm{\Delta }MC\mathrm{D}$ vuông cân tại $M\Rightarrow C\mathrm{D}=\sqrt{C{M}^2+D{M}^2}=a\sqrt{2}$

$\begin{array}{l}{S}_{AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}=AB.A{A}^{\prime }=2a^2\\ S_{AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }}=AD.A{A}^{\prime }=4a^2\\ S_{BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }}=BC.C{C}^{\prime }=2a^2\\ S_{C{\mathrm{D}\mathrm{D}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }}=C\mathrm{D}.C{C}^{\prime }=2a^2\sqrt{2}\end{array}$

Tổng diện tích các mặt của hình lăng trụ là:

$\begin{array}{l}S=S_{ABC\mathrm{D}}+S_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{C}^{\prime }}+S_{AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}+S_{AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }}+S_{BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }}+S_{C{\mathrm{D}\mathrm{D}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }}\\ & =\frac{3a^2}{2}+\frac{3a^2}{2}+2a^2+4a^2+2a^2+2a^2\sqrt{2}=\left(11+2\sqrt{2}\right)a^2\end{array}$