Giải mục 1 trang 82, 83 SGK Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Hoạt động 1

Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\).

a) Trong trường hợp \(a\) vuông góc với \(\left( P \right)\), tìm góc giữa \(a\) và một đường thẳng \(b\) tuỳ ý trong \(\left( P \right)\).

b) Trong trường hợp \(a\) không vuông góc với \(\left( P \right)\), tìm góc giữa \(a\) và đường thẳng \(a'\) là hình chiếu vuông góc của \(a\) trên \(\left( P \right)\).

Phương pháp giải:

 Sử dụng tính chất: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\b \subset \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot b \Rightarrow \left( {a,b} \right) = {90^ \circ }\)

b) Lấy \(A \in a\). Gọi \(O = a \cap \left( P \right)\). Dựng \(AH \bot a'\left( {H \in a'} \right)\).

Ta có: \(\left( {a,a'} \right) = \left( {AO,OH} \right) = \widehat {AOH}\)

Thực hành 1

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\). Tính góc giữa các đường thẳng sau đây với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\):

a) \(AA'\);                           

b) \(BC'\);                           

c) \(A'C\).

Phương pháp giải:

Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

a) \(AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {AA',\left( {ABCD} \right)} \right) = {90^ \circ }\).

b) \(CC' \bot \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {BC',\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {BC',BC} \right) = \widehat {CBC'} = {45^ \circ }\)

c) \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {A'C,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {A'C,AC} \right) = \widehat {ACA'}\)

\(\begin{array}{l}AC = AB\sqrt 2  = AA'\sqrt 2  \Rightarrow \tan \widehat {ACA'} = \frac{{AA'}}{{AC}} = \frac{{AA'}}{{AA'\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Rightarrow \widehat {ACA'} \approx 35,{26^ \circ }\end{array}\)

Vậy \(\left( {A'C,\left( {ABCD} \right)} \right) \approx 35,{26^ \circ }\)

Vận dụng 1

Một tấm ván hình chữ nhật \(ABCD\) được dùng làm mặt phẳng nghiêng để kéo một vật lên khỏi hố sâu 2 m. Cho biết \(AB = 1\,m,AD = 3,5{\rm{ }}m\). Tính góc giữa đường thẳng \(BD\) và đáy hồ.

Phương pháp giải:

Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tính góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

\(DK \bot \left( {ABHK} \right) \Rightarrow \left( {B{\rm{D}},\left( {ABHK} \right)} \right) = \left( {B{\rm{D}},BK} \right) = \widehat {DBK}\)

\(DK = CH = 2,AK = \sqrt {A{{\rm{D}}^2} - D{K^2}}  = \frac{{\sqrt {33} }}{2},KB = \sqrt {A{K^2} + A{B^2}}  = \frac{{\sqrt {37} }}{2}\)

\(\tan \widehat {DBK} = \frac{{DK}}{{KB}} = \frac{4}{{\sqrt {37} }} \Rightarrow \widehat {DBK} \approx 33,{3^ \circ }\)

Vậy góc giữa đường thẳng \(BD\) và đáy hồ bằng \(33,{3^ \circ }\).