Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cánh Diều

I. Khái niệm

• Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u: $\left\{1;2;3;...;m\right\}\to \mathbb{R}\left(m\in {\mathbb{N}}^{\ast }\right)$ được gọi là một dãy số hữu hạn.

Do mỗi số nguyên dương $k\left(1\le k\le m\right)$ tương ứng với đúng một số $u_k$ nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: $u_1,u_2,u_3,...,u_m$

Số $u_1$ là số hạng đầu; $u_m$ là số hạng cuối cùng của dãy số đó.

• Dãy số vô hạn

Mỗi hàm số u: ${\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{R}$ được gọi là một dãy số vô hạn.

Do mỗi số nguyên dương $n$ tương ứng với đúng một số $u_n$ nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: $u_1,u_2,u_3,...,u_n,...$

Số $u_1$ là số hạng đầu; $u_n$ là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

2. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

• Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).
• Công thức của số hạng tổng quát.
• Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạn tổng quát của dãy số đó.
• Phương pháp truy hồi.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

• Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có $u_{n+1}>u_n$$,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
• Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có $u_{n+1}<u_n$$,\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

4. Dãy số bị chặn

• Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn trên nếu $\mathrm{\exists }$ số M sao cho $u_n\le M,$ $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
• Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu $\mathrm{\exists }$ số m sao cho $u_n\ge m,$ $\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
• Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m\le u_n\le M,$$\mathrm{\forall }n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.