Bài 10 trang 58 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\). Tìm số hạng đầu \({u_1}\), công bội q trong mỗi trường hợp sau:

a)    \({u_6} = 192\) và \({u_7} = 384\)

b)    \({u_1} + {u_2} + {u_3} = 7\) và \({u_5} - {u_2} = 14\)

Lời giải chi tiết

a) Ta có $u_6=u_1 \cdot q^5=192$ và $u_7=u_1 \cdot q^6=384$
Xét: $\frac{u_6}{u_7}=\frac{u_1 q^5}{u_1 \cdot q^6}=\frac{1}{q}=\frac{192}{384}=\frac{1}{2}$
Suy ra: $\mathrm{u}_1=192:\left(\frac{1}{2}\right)^5=6144$.
Vậy cấp số nhân có số hạng đầu $\mathrm{u}_1=6144$ và công bội $\mathrm{q}=\frac{1}{2}$.
b) Ta có: $u_1+u_2+u_3=u_1+u_1 \cdot q+u_1 \cdot q^2=7$
$\Leftrightarrow \mathrm{u}_1\left(1+\mathrm{q}+\mathrm{q}^2\right)=7$
Và $u_5-u_2=u_1 \cdot q^4-u_1 \cdot q=14$
$\Leftrightarrow \mathrm{u}_1 \mathrm{q}\left(\mathrm{q}^3-1\right)=14$
Suy ra: $\frac{u_1\left(1+q+q^2\right)}{u_1 q\left(q^3-1\right)}=\frac{7}{14}$
$\Leftrightarrow \frac{u_1\left(1+q+q^2\right)}{u_1 q(q-1)\left(1+q+q^2\right)}=\frac{7}{14} \\ \Leftrightarrow 2=q(q-1) \\ \Leftrightarrow q^2-q-2=0$