Giải mục 1 trang 59, 60, 61, 62 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Hoạt động 1

Hình 2 biểu diễn các số hạng của dãy số \(\left( {{u_n}} \right),\) với \({u_n} = \frac{1}{n}\) trên hệ trục tọa độ.

a) Nhận xét về sự thay đổi các giá trị \({u_n}\) khi n ngày càng lớn.

b) Hoàn thành bảng và trả lời câu hỏi sau:

Kể từ số hạng \({u_n}\) nào của dãy số thì khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,001? 0,0001?

Phương pháp giải:

Quan sát hình 2 và rút ra nhận xét.

Lời giải chi tiết:

a) Khi n ngày càng lớn thì các giá trị \({u_n}\) ngày càng giảm tiến dần về gần trục Ox.

b)

Kể từ số hạng \({u_{1001}}\) trở đi thì khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,001

Kể từ số hạng \({u_{10001}}\) trở đi thì khoảng cách từ \({u_n}\) đến 0 nhỏ hơn 0,0001

Luyện tập, vận dụng 1

Chứng minh rằng:

a) \(\lim 0 = 0;\)                           

b) \(\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0.\) \(\)

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn 0.

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải chi tiết:

a) Vì \(\left| {{u_n}} \right| = \left| 0 \right| = 0 < 1\) nên theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ta có \(\lim 0 = 0;\)

b) Vì \(0 < \left| {\frac{1}{{\sqrt n }}} \right| < 1\) nên theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ta có \(\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0.\)

Luyện tập, vận dụng 2

Chứng minh rằng \(\lim \frac{{ - 4n + 1}}{n} =  - 4.\)

Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.

Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\)hay \({u_n} \to a\)khi  \(n \to  + \infty \) hay \(\lim {u_n} = a\).

Lời giải chi tiết:

Vì \(\lim \left( {\frac{{ - 4n + 1}}{n} + 4} \right) = \lim \frac{1}{n} = 0\) nên \(\lim \frac{{ - 4n + 1}}{n} =  - 4.\)

Luyện tập, vận dụng 3

Chứng minh rằng \(\lim {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^n} = 0.\)

Phương pháp giải:

 Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dư mơng bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

Lời giải chi tiết:

Vì \(\left| {\frac{e}{\pi }} \right| < 1\) nên theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ta có \(\lim {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^n} = 0.\)