Giải mục 3 trang 18, 19 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Hoạt động 3

Từ các công thức cộng, hãy tính:

a) $\cos \left(a-b\right)+\cos \left(a+b\right)$ theo $\cos a$ và $\cos b$.

b) $\cos \left(a-b\right)-\cos \left(a+b\right)$ theo $\sin a$ và $\sin b$.

c) $\sin \left(a-b\right)+\sin \left(a+b\right)$ theo $\sin a$ và $\cos b$.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức cộng vào các công thức trên.

Lời giải chi tiết:

a) $\cos \left(a-b\right)+\cos \left(a+b\right)=\cos a\cos b+\sin a\sin b+\cos a\cos b-\sin a\sin b=2\cos a\cos b$

b) $\cos \left(a-b\right)-\cos \left(a+b\right)=\cos a\cos b+\sin a\sin b-\cos a\cos b+\sin a\sin b=2\sin a\sin b$

c) $\sin \left(a-b\right)+\sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b-\cos a\sin b+\sin a\cos b+\cos a\sin b=2\sin a\cos b$

Luyện tập 3

Không dùng máy tính cầm tay, tính $\sin \frac{\pi }{12}\cos \frac{17\pi }{12}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

$$\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin \left(a+b\right)+\sin \left(a-b\right)\right]$$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\sin \frac{\pi }{12}\cos \frac{17\pi }{12}=\frac{\sin \left(\frac{\pi }{12}-\frac{17\pi }{12}\right)+\sin \left(\frac{\pi }{12}+\frac{17\pi }{12}\right)}{2}=\frac{\sin \left(-\frac{4\pi }{3}\right)+\sin \left(\frac{3\pi }{2}\right)}{2}\\ =\frac{-\frac{1}{2}-1}{2}=-\frac{3}{4}\end{array}$

Hoạt động 4

Nếu đặt u = a – b và v = a + b trong các công thức:  

$\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a-b\right)+\cos \left(a+b\right)\right];$

$\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin \left(a-b\right)+\sin \left(a+b\right)\right]$

thì ta thu được các công thức nào theo u và v?

Phương pháp giải:

Thay a – b = u, a + b = v, $a=\frac{u+v}{2},-b=\frac{u-v}{2}$vào công thức.

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a-b\right)+\cos \left(a+b\right)\right]\\ \iff \cos a\cos \left(-b\right)=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a-b\right)+\cos \left(a+b\right)\right]\\ \iff \cos \left(\frac{u+v}{2}\right)\cos \left(\frac{u-v}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\cos u+\cos v\right)\\ \iff 2\cos \left(\frac{u+v}{2}\right)\cos \left(\frac{u-v}{2}\right)=\cos u+\cos v\\ \sin a\cos \left(-b\right)=\frac{1}{2}\left[\sin \left(a-b\right)+\sin \left(a+b\right)\right]\\ \iff \sin \left(\frac{u+v}{2}\right)\cos \left(\frac{u-v}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\sin u+\sin v\right)\\ \iff 2\sin \left(\frac{u+v}{2}\right)\cos \left(\frac{u-v}{2}\right)=\sin u+\sin v\end{array}$

Luyện tập 4

Chứng minh $\frac{\cos \frac{\pi }{17}\cos \frac{13\pi }{17}}{\cos \frac{3\pi }{17}+\cos \frac{5\pi }{17}}=-\frac{1}{2}$.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức lượng giác.

$\cos \left(-\alpha \right)=\cos \alpha$

$\cos \left(\pi -\alpha \right)=-\cos \alpha$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l}\frac{\cos \frac{\pi }{17}\cos \frac{13\pi }{17}}{2\cos \frac{4\pi }{17}\cos \left(-\frac{\pi }{17}\right)}=\frac{\cos \frac{\pi }{17}\cos \frac{13\pi }{17}}{2\cos \frac{4\pi }{17}\cos \frac{\pi }{17}}=\frac{\cos \frac{13\pi }{17}}{2\cos \frac{4\pi }{17}}\\ =\frac{\cos \left(\pi -\frac{4\pi }{17}\right)}{2\cos \frac{4\pi }{17}}=\frac{-\cos \frac{4\pi }{17}}{2\cos \frac{4\pi }{17}}=-\frac{1}{2}.\end{array}$