Giải mục 2 trang 45, 46, 47 SGK Toán 11 tập 1 - Cùng khám phá

Hoạt động 2

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ được viết dưới dạng khai triển $\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{3},\frac{\sqrt{3}}{4},\frac{\sqrt{4}}{5},\frac{\sqrt{5}}{6},\frac{\sqrt{6}}{7},...$. Dự đoán số hạng tổng quát của dãy số trên.

Phương pháp giải:

Quan sát tử và mẫu của các số hạng, tìm ra mối liên hệ giữa tử và mẫu của số hạng với $n$ tương ứng.

Lời giải chi tiết:

Số hạng tổng quát của dãy là $u_n=\frac{\sqrt{n}}{n+1}$.

Luyện tập 2

Tính năm số hạng đầu của dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^n\left(n+1\right)}{n+2}$

Phương pháp giải:

Thay $n=1,2,...,5$ vào công thức của số hạng tổng quát.

Lời giải chi tiết:

Năm số hạng đầu của dãy số là: $u_1=\frac{{\left(-1\right)}^1\left(1+1\right)}{1+2}=\frac{-2}{3}$, $u_2=\frac{{\left(-1\right)}^2\left(2+1\right)}{2+2}=\frac{3}{4}$, $u_3=\frac{{\left(-1\right)}^3\left(3+1\right)}{3+2}=\frac{-4}{5}$, $u_4=\frac{{\left(-1\right)}^4\left(4+1\right)}{4+2}=\frac{5}{6}$, $u_5=\frac{{\left(-1\right)}^5\left(5+1\right)}{5+2}=\frac{-6}{7}$.

Hoạt động 3

Viết dãy số nguyên tố trong phạm vi từ 1 đến 50 theo thứ tự tăng dần.

Phương pháp giải:

- Số nguyên tố là các số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ chia hết cho 1 và chính nó.

- Liệt kê các số nguyên tố từ bé đến lớn trong phạm vi từ 1 đến 50.

Lời giải chi tiết:

Dãy số nguyên tố trong phạm vi từ 1 đến 50 theo thứ tự tăng dần là 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Hoạt động 4

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định bởi các điều kiện sau:

$\{\begin{array}{l}{u}_1=1,u_2=2\\ u_n=u_{n-1}+{\left(u_{n-2}\right)}^2,\mathrm{\forall }n\ge 3\end{array}$

Hãy viết sáu số hạng đầu tiên của dãy số $\left(u_n\right)$.

Phương pháp giải:

Thay $n=3,4,...,6$ vào hệ thức truy hồi.

Lời giải chi tiết:

Theo hệ thức truy hồi, ta có: $u_1=1,u_2=2,u_3=2+1^2=3$,$u_4=3+2^2=7$,$u_5=7+3^2=16$, $u_6=16+7^2=65$

Luyện tập 3

Dãy số Fibonacci

Dãy Fibonacci là dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định bởi: $\{\begin{array}{l}{u}_1=u_2=1\\ u_n=u_{n-1}+u_{n-2}\end{array}$với $n\ge 3$. Hãy viết mười số hạng đầu của dãy Fibonacci.

Phương pháp giải:

Thay $n=3,4,...,10$ vào hệ thức truy hồi.

Lời giải chi tiết:

Theo hệ thức truy hồi, ta có: $u_1=1,u_2=1,u_3=1+1=2,u_4=2+1=3,u_5=3+2=5,u_6=5+3=8,u_7=8+5=13,u_8=13+8=21,u_9=21+13=34,u_{10}=34+21=55$.

Hoạt động 5

$\sqrt{2}=1,41421352...$ là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Một dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định như sau: “$u_n$ là số gần đúng của $\sqrt{2}$ có được bằng cách giữ lại phần nguyên và $n$ chữ số thập phân đầu tiên sau dấu phẩy”. Hãy liệt kê bảy số hạng đầu của dãy số $\left(u_n\right)$.

Phương pháp giải:

Dựa vào đề bài để xác định đặc điểm của dãy số.

Lời giải chi tiết:

Bảy số hạng đầu của dãy số là:

$\begin{array}{l}{u}_1=1,4\\ u_2=1,41\\ u_3=1,414\\ u_4=1,4142\\ u_5=1,41421\\ u_6=1,414213\\ u_7=1,4142135\end{array}$

Luyện tập 4

$\pi =3,14159263589...$ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Một dãy số $\left(u_n\right)$ được xác định như sau: “$u_n$ là số gần đúng của số $\pi$ có được bằng cách giữ lại phần nguyên và $2n$ chữ số thập phân đầu tiên sau dấu phẩy”. Hãy liệt kê năm số hạng đầu của dãy số $\left(u_n\right)$.

Phương pháp giải:

Dựa vào đề bài để xác định đặc điểm của dãy số.

Lời giải chi tiết:

Năm số hạng đầu của dãy số là:

$\begin{array}{l}{u}_1=3,14\\ u_2=3,1415\\ u_3=3,141592\\ u_4=3,14159263\\ u_5=3,1415926358\end{array}$