Đề bài
Xét tính tăng, giảm của các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết:
a) \({u_n} = 3 - \frac{2}{n};\)
b) \({u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^n}}};\)
c) \({u_n} = \frac{{n + 5}}{{2n - 1}};\)
d) \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^n}.n!.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Nếu \({u_{n + 1}} > {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì là dãy số tăng.
Nếu \({u_{n + 1}} < {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\) thì là dãy dãy số giảm.
Lời giải chi tiết
a)
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = 3 - \frac{2}{{n + 1}} - 3 + \frac{2}{n} = 2\left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{n + 1}}} \right) > 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.
b)
\(\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^{n + 1}}}} - 1 - \frac{1}{{{2^n}}} = \frac{1}{{{2^n}}}\left( {\frac{1}{2} - 1} \right) = - \frac{1}{2}.\frac{1}{{{2^n}}} < 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
c)
\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{n + 5}}{{2n - 1}} = \frac{1}{2} + \frac{{\frac{{11}}{2}}}{{2n - 1}}\\{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{1}{2} + \frac{{\frac{{11}}{2}}}{{2n + 1}} - \frac{1}{2} - \frac{{\frac{{11}}{2}}}{{2n - 1}} = \frac{{11}}{2}\left( {\frac{1}{{2n + 1}} - \frac{1}{{2n - 1}}} \right) < 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
d)
\(\begin{array}{l}\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}.\left( {n + 1} \right)!}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.\left( { - 1} \right).n!\left( {n + 1} \right)}}{{{{\left( { - 1} \right)}^n}.n!}} = - \left( {n + 1} \right) < 0\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\forall n \in {\mathbb{N}^*}\end{array}\)
Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.
English
French
Spanish
Russian