Lý thuyết Giới hạn của dãy số - SGK Toán 11 Cùng khám phá

I. Giới hạn hữu hạn của dãy số

1. Dãy số có giới hạn bằng 0

- Dãy số $\left(u_n\right)$có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu $\left|u_n\right|$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.

 Kí hiệu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=0$ hay $u_n\to 0$ khi  $n\to +\mathrm{\infty }$ hay $lim{u}_n=0$.

* Chú ý:

+ $lim\frac{1}{n^k}=0,k\in \mathbb{Z}.$

+ Nếu $\left|q\right|<1$ thì $lim{q}^n=0$

2. Dãy số có giới hạn hữu hạn

Ta nói dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(u_n-a\right)=0$, kí hiệu $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a$ hay $u_n\to a$khi  $n\to +\mathrm{\infty }$.

* Chú ý:  Nếu $u_n=c$ (c là hằng số) thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=c$

3. Định lí về giới hạn hữu hạn

Cho $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a,\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=b$ và c là hằng số thì

• $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n\pm v_n)=a\pm b$
• $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n.v_n)=a.b$
• $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=\frac{a}{b}\left(b\ne 0\right)$
• Nếu $u_n\ge 0$ thì với mọi n và $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a$ thì $a\ge 0$ và $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{u_n}=\sqrt{a}$

4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có công bội q thỏa mãn $\left|q\right|<1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

$S=\frac{u_1}{1-q}\left(\left|q\right|<1\right)$

II. Giới hạn vô cực

- Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là có giới hạn $+\mathrm{\infty }$khi $n\to +\mathrm{\infty }$ nếu $u_n$ có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }$ hay $u_n\to +\mathrm{\infty }$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$.

- Dãy số $\left(u_n\right)$ được gọi là có giới hạn $-\mathrm{\infty }$khi $n\to +\mathrm{\infty }$ nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\left(-u_n\right)=+\mathrm{\infty }$, kí hiệu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=-\mathrm{\infty }$ hay $u_n\to -\mathrm{\infty }$ khi $n\to +\mathrm{\infty }$.

*Nhận xét:

$\begin{array}{l}a,lim{n}^k=+\mathrm{\infty },k\in \mathbb{N},k\ge 1.\\ b,lim{q}^n=+\mathrm{\infty };q\in \mathbb{R},q>1.\end{array}$

* Chú ý:

Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a$và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=+\mathrm{\infty }$(hoặc$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=-\mathrm{\infty }$)thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=0$.

Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a>0$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=0,v_n>0$thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=+\mathrm{\infty }$.

Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=a>0$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=0,v_n<0$thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(\frac{u_n}{v_n})=-\mathrm{\infty }$.

Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=a>0$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }$thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n.v_n)=+\mathrm{\infty }$.

Nếu $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{v}_n=a<0$ và $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{u}_n=+\mathrm{\infty }$thì $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}(u_n.v_n)=-\mathrm{\infty }$