Hoạt động 4
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}x + 2,x \ge 1\\x - 4,x < 1\end{array} \right.\) và hai dãy số (\({u_n}\)) và (\({v_n}\)) với \({u_n} = 1 + \frac{1}{n}\), \({v_n} = 1 - \frac{1}{n}\)
a, So sánh \({u_n},{v_n}\) với 1 và tìm \(\lim {u_n}\), \(\lim {v_n}\).
b, Tính \(f({u_n})\) và \(f({v_n})\) theo n.
c, Tìm lim\(f({u_n})\) và lim\(f({v_n})\).
Phương pháp giải:
a, Xác định \(\lim \frac{1}{n}\) để so sánh \({u_n},{v_n}\) với 1 và tìm \(\lim {u_n}\), \(\lim {v_n}\).
b, Thay \({u_n} = 1 + \frac{1}{n}\), \({v_n} = 1 - \frac{1}{n}\) để tính \(f({u_n})\) và \(f({v_n})\).
c, Sử dụng câu a,b để tìm lim\(f({u_n})\) và lim\(f({v_n})\).
Lời giải chi tiết:
a, Ta có \(\lim \frac{1}{n} = 0\) và \(\frac{1}{n} > 0\) nên:
\({u_n} = 1 + \frac{1}{n} > 1\) và \({v_n} = 1 - \frac{1}{n} < 1\)
\(\lim {u_n} = \lim (1 + \frac{1}{n}) = 1\) và \(\lim {v_n} = \lim (1 - \frac{1}{n}) = 1\).
b, Với \({u_n} > 1\) thay x=\({u_n}\) vào f(x)=x+2 ta được:
\(f({u_n}) = {u_n} + 2 = 1 + \frac{1}{n} + 2 = 3 + \frac{1}{n}\).
Với \({v_n} < 1\) thay x=\({v_n}\) vào f(x) = x-4 ta được:
\(f({v_n}) = {v_n} - 4 = 1 - \frac{1}{n} - 4 = - 3 - \frac{1}{n}\).
c, Ta có: \(\lim f({u_n}) = \lim (3 + \frac{1}{n}) = 3\).
\(\lim f({v_n}) = \lim ( - 3 - \frac{1}{n}) = - 3\).
Luyện tập 4
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 1,x \ge 1\\\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}},x < 1\end{array} \right.\). Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)\)
Phương pháp giải:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x) = \lim ({x_n}^2 + 1)\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \lim \frac{{{x_n}^2 - 1}}{{{x_n} + 1}}\)
Lời giải chi tiết:
Giả sử \(({x_n})\) là một dãy số bất kì mà \({x_n} > - 1\) và \(\lim {x_n} = - 1\), ta có \(f\left( {{x_n}} \right) = x_n^2 + 1\).
Vậy\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f(x)\) =\(\lim f({x_n}) = {( - 1)^2} + 1 = 2\).
Giả sử \(({x_n})\) là một dãy số bất kì mà \({x_n} < - 1\) và \(\lim {x_n} = - 1\), ta có \(f({x_n}) = \frac{{x_n^2 - 1}}{{{x_n} + 1}} = \frac{{({x_n} - 1)({x_n} + 1)}}{{{x_n} + 1}} = {x_n} - 1\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f(x) = \)\(\lim f({x_n}) = - 1 - 1 = - 2\).
Luyện tập 5
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2ax + 6,x \ge - 2\\\frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}},x < - 2\end{array} \right.\). Tìm a, biết rằng tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x)\)
Phương pháp giải:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} (2ax + 6) = - 4a + 6\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\mathop { = \lim }\limits_{x \to - {2^ - }} (x - 2) = - 4\)
Cho \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x)\) để tìm giá trị của a.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} (2ax + 6) = - 4a + 6\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\mathop { = \lim }\limits_{x \to - {2^ - }} (x - 2) = - 4\)
Để tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f(x)\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f(x) \Leftrightarrow - 4a + 6 = - 4 \Leftrightarrow - 4a = - 10 \Leftrightarrow a = \frac{5}{2}\)
Vậy \(a = \frac{5}{2}\).
Hoạt động 5
Đồ thị hàm số \(y = f(x) = \frac{1}{{x - 2}}\) được cho trong hình 3.3
a, Nếu M(x;f(x)) là một điểm trên đồ thị, hãy dự đoán giá trị của f(x) khi x dần đến 2 theo phía phải, theo phía trái.
b, \(({x_n})\)là một dãy số bất kì mà \({x_n} < 2\) và \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = 2\).Tính \(f({x_n})\) và \(\lim f({x_n})\).
Phương pháp giải:
a, Dựa vào phần đồ thị bên phải để xác định giá trị của f(x) khi x gần đến 2 theo phía phải và phần đồ thị bên trái để xác định giá trị của f(x) khi x gần đến 2 theo phía trái.
b, Thay \(x = {x_n}\) để tính \(f({x_n})\).
Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f(x)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f(x)\).
Lời giải chi tiết:
a, Dự đoán: Khi x gần đến 2 theo phía phải thì f(x) gần đến \( + \infty \)
Khi x gần đến 2 theo phía trái thì f(x) gần đến \( - \infty \).
b, Thay \(x = {x_n}\) vào f(x) ta được : \(f({x_n}) = \frac{1}{{{x_n} - 2}}\)
Cho dãy số \(({x_n})\) với \({x_n} > 2\) và \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = 2\), lim1=1 ta có:
\(\lim f({x_n}) = + \infty \)
Cho dãy số \(({x_n})\) với \({x_n} < 2\) và \({\mathop{\rm l}\nolimits} {\rm{im }}{{\rm{x}}_n} = 2\), lim 1=1 ta có:
\(\lim f({x_n}) = - \infty \).
Luyện tập 6
Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{2 - x}}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{1}{{x - 4}}\).
Phương pháp giải:
Áp dụng định lí \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} \frac{1}{{x - a}} = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} \frac{1}{{x - a}} = - \infty \) với mọi số thực a.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{1}{{2 - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{ - 1}}{{x - 2}} = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{1}{{x - 4}} = + \infty \)
English
French
Spanish
Russian