Giải bài 1.30 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 9. Phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = – 2 biến đường tròn (C) thành đường tròn (C'). Viết phương trình đường tròn (C').

Lời giải chi tiết

Ta có $\left(C\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2=9\iff {\left(x-1\right)}^2+{\left[y-\left(-2\right)\right]}^2=3^2.$

Suy ra đường tròn (C) có tâm I(1; – 2) và bán kính R = 3.

Gọi I' và R' lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C'). Vì (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = – 2 nên I' là ảnh của I qua phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = – 2 và $R^{\prime }=\left|-2\right|.R=2.3=6.$

Vì I' là ảnh của I qua phép vị tự V_{(O, – 2)} nên $\overrightarrow{O{I}^{\prime }}=-2\overrightarrow{OI}$

Suy ra $\{\begin{array}{l}{x}_{I^{\prime }}=-2x_I=-2.1=-2\\ y_{I^{\prime }}=-2y_I=-2.\left(-2\right)=4\end{array}$ nên I'(– 2; 4).

Vậy phương trình đường tròn (C') là

${\left[x-\left(-2\right)\right]}^2+{\left(y-4\right)}^2=6^2\iff {\left(x+2\right)}^2+{\left(y-4\right)}^2=36.$