Đề bài
Hai thành phố A, B nằm ở hai bên bờ của một con sông (Hình 13). Giả sử hai bờ sông là hai đường thẳng song song a, b. Tìm vị trí điểm M bên bờ a và N bên bờ b để xây dựng một chiếc cầu MN sao cho MN vuông góc với a, b và tổng khoảng cách AM + NB ngắn nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ta đi chứng minh tổng khoảng cách \(AM{\rm{ }} + {\rm{ }}NB\) ngắn nhất khi và chỉ khi \(A'N{\rm{ }} + {\rm{ }}NB'{\rm{ }} = {\rm{ }}A'B'.\) Với A’, B’ là ảnh của A, B qua \({Đ_d}\) (d là đường trung trực của đoạn MN)
Lời giải chi tiết
Gọi d là đường trung trực của đoạn MN.
Suy ra điểm N là ảnh của điểm M qua \({Đ_d}\)
Lấy điểm A’ là ảnh của điểm A qua \({Đ_d}\)
Suy ra đoạn A’N là ảnh của đoạn AM qua \({Đ_d}\)
Do đó \(A'N{\rm{ }} = {\rm{ }}AM.\)
Lấy điểm B’ là ảnh của điểm B qua
Suy ra b là đường trung trực của đoạn BB’.
Mà \(N \in b\) (giả thiết).
Do đó \(NB'{\rm{ }} = {\rm{ }}NB.\)
Ta có \(AM{\rm{ }} + {\rm{ }}NB{\rm{ }} = {\rm{ }}A'N{\rm{ }} + {\rm{ }}NB'.\)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho ∆A’NB’, ta được: \(A'N{\rm{ }} + {\rm{ }}NB'{\rm{ }} \ge {\rm{ }}A'B'.\)
Do đó tổng khoảng cách \(AM{\rm{ }} + {\rm{ }}NB\) ngắn nhất khi và chỉ khi \(A'N{\rm{ }} + {\rm{ }}NB'{\rm{ }} = {\rm{ }}A'B'.\)
Tức là, ba điểm A’, N, B’ thẳng hàng.
Vậy N là giao điểm của A’B’ và bờ b, M là điểm nằm bên bờ a thỏa mãn M = Đd(N), với d là đường trung trực của đoạn MN, \(A'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_d}\left( A \right),{\rm{ }}B'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_b}\left( B \right).\)
English
French
Spanish
Russian