Giải bài 7 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tam giác đều tâm O. Hỏi có bao nhiêu phép quay tâm O với góc quay $\alpha$, $0<\alpha \le 2\pi ,$biến tam giác trên thành chính nó?

A. Một.

B. Hai.

C. Ba.

D. Bốn.

Lời giải chi tiết

Đáp án đúng là: C

Gọi tam giác đã cho là ∆ABC.

⦁ $\mathrm{\Delta }$ABC đều có tâm O. Suy ra $OA=OB=OC$ và $\widehat{ACB}=\frac{\pi }{3}$

Khi đó $\widehat{AOB}=2\widehat{ACB}=2.\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$

Chứng minh tương tự, ta được $\widehat{BOC}=\widehat{COA}=\frac{2\pi }{3}$

Vì vậy phép quay tâm O, góc quay $\alpha =\frac{2\pi }{3}$ biến các điểm A, B, C theo thứ tự thành các điểm B, C, A.

Do đó phép quay tâm O, góc quay $\alpha =\frac{2\pi }{3}$ biến $\mathrm{\Delta }$ABC thành chính nó.

⦁ Tương tự ta có phép quay tâm O, góc quay $\alpha =\frac{4\pi }{3}$  biến các điểm A, B, C theo thứ tự thành các điểm C, A, B.

Do đó phép quay tâm O, góc quay  $\alpha =\frac{4\pi }{3}$ biến $\mathrm{\Delta }$ABC thành chính nó.

⦁ Phép quay tâm  O, góc quay $\alpha =\frac{4\pi }{3}$ biến các điểm A, B, C theo thứ tự thành các điểm A, B, C.

Do đó phép quay tâm O, góc quay $\alpha =2\pi$ biến ∆ABC thành chính nó.

Vậy có 3 phép quay tâm O với các góc quay lần lượt là $\alpha =\frac{2\pi }{3}$; $\alpha =\frac{4\pi }{3}$; $\alpha =2\pi$thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Do đó ta chọn phương án C.