Giải bài 10 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho đường tròn (O; R) và điểm I cố định khác O. Vẽ điểm M tùy ý trên (O). Tia phân giác của góc MOI cắt IM tại N. Điểm N di động trên đường nào khi M di động trên (O)?

Lời giải chi tiết

Đặt $IO=d\left(d\ne 0\right).$

∆MOI có ON là đường phân giác, áp dụng tính chất đường phân giác, ta được: $\frac{NM}{NI}=\frac{OM}{OI}=\frac{R}{d}$

Suy ra $\frac{NM}{NI}+1=\frac{R}{d}+1$

Khi đó $\frac{NM+NI}{NI}=\frac{R+d}{d}$

Vì vậy $\frac{IM}{NI}=\frac{R+d}{d}$

Suy ra $\frac{IN}{IM}=\frac{d}{R+d}$

Do đó $IN=\frac{d}{R+d}.IM$

Vì vậy $\overrightarrow{IN}=\frac{d}{R+d}.\overrightarrow{IM}$ (do $\overrightarrow{IN},\overrightarrow{IM}$  cùng hướng).

Khi đó phép vị tự tâm I, tỉ số $k=\frac{d}{R+d}$  biến điểm M thành điểm N.

Giả sử khi M ở vị trí sao cho ba điểm O, M, I thẳng hàng (tức là, $\widehat{IOM}=0^{\circ }$ )thì tia phân giác của góc MOI không thể cắt IM tại N.

Tức là, điểm N không tồn tại.

Ta đặt $M_0^{\prime }=V_{\left(I,\frac{d}{R+d}\right)}\left(M_0\right)$, với M₀ là điểm nằm trên đường tròn (O; R) sao cho ba điểm $O,M_0,I$ thẳng hàng.

Vậy khi M chạy trên đường tròn (O; R) sao cho ba điểm O, M, I không thẳng hàng thì N chạy trên một đường tròn $\left(O^{\prime };R^{\prime }\right)$ cố định là ảnh của đường tròn (O; R) qua phép vị tự tâm I, tỉ số $k=\frac{d}{R+d}$  sao cho $N\ne M_0,$  với M₀ là điểm nằm trên đường tròn (O; R) sao cho ba điểm $O,M_0,I$ thẳng hàng