Giải bài 12 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho đường thẳng $d:x+y+2=0,$  đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-4x+8y-5=0.$

a) Tìm ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox.

b) Tìm ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Oy.

Lời giải chi tiết

a) Chọn điểm $M\left(-1;-1\right)\in d:x+y+2=0.$

Ta đặt $M^{\prime }={Đ}_{Ox}\left(M\right).$

Suy ra Ox là đường trung trực của đoạn MM’ hay M, M’ đối xứng nhau qua Ox.

Do đó hai điểm M và M’ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ

Gọi N là giao điểm của d và Ox, khi đó $y_N=0,$ suy ra $x_N=-2.$Do đó $N\left(-2;0\right).$

Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục Ox, khi đó đường thẳng d’ đi qua hai điểm $M^{\prime }\left(-1;1\right)$ và $N\left(-2;0\right).$

Ta có: $\overrightarrow{M^{\prime }N}=\left(-1;-1\right)\Rightarrow {\overrightarrow{n}}_{d^{\prime }}=\left(1;-1\right)$

Đường thẳng d’ đi qua điểm N(–2; 0) và có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_{d^{\prime }}=\left(1;-1\right)$ nên có phương trình là:

$1.\left(x+2\right)-1.\left(y-0\right)=0\iff x-y+2=0.$

b) Đường tròn $\left(C\right):x^2+y^2-4x+8y-5=0$ có tâm I(2; –4), bán kính $R=\sqrt{2^2+{\left(-4\right)}^2-\left(-5\right)}=5$

Gọi đường tròn (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua ${Đ}_{Oy}.$

Suy ra (C’) là đường tròn có tâm là ảnh của I qua ${Đ}_{Oy}.$  và có bán kính $R^{\prime }=R=5.$

Ta đặt $I^{\prime }={Đ}_{Oy}\left(I\right).$

Suy ra Oy là đường trung trực của đoạn II’ hay I và I’ đối xứng nhau qua Oy

Do đó hai điểm I và I’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.

Vì vậy tọa độ I’(–2; –4).

Vậy phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua ${Đ}_{Oy}.$ là: ${\left(x+2\right)}^2+{\left(y+4\right)}^2=25.$