Giải bài 13 trang 41 Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }}-{\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O.

b) Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm M(4; 6).

Lời giải chi tiết

a) Chọn điểm \(A\left( {-1;{\rm{ }}1} \right) \in d.\)

Ta đặt \(A'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_O}\left( A \right).\)

Suy ra O là trung điểm của AA’.

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_O} - {x_A} = 2.0 + 1 = 1\\{y_{A'}} = 2{y_O} - {y_A} = 2.0 - 1 =  - 1\end{array} \right.\)

Vì vậy A’(1; –1).

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {1;6} \right)\)

Gọi d’ là ảnh của d qua  suy ra d’ là đường thẳng song song hoặc trùng với d nên d’ nhận \(\vec n = \left( {1;6} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Vậy đường thẳng d’ đi qua A’(1; –1) và nhận \(\vec n = \left( {1;6} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

\(1.\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}6.\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

b) Ta đặt \(A'' = {\rm{ }}{Đ_M}\left( A \right).\)

Suy ra M là trung điểm AA”.

Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{A''}} = 2{x_M} - {x_A} = 2.4 + 1 = 9\\{y_{A''}} = 2{y_M} - {y_A} = 2.6 - 1 = 11\end{array} \right.\)

Vì vậy A”(9; 11).

Gọi d” là ảnh của d qua \({Đ_M},\;\) suy ra d’’ là đường thẳng song song hoặc trùng với d nên d’’ nhận \(\vec n = \left( {1;6} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Vậy đường thẳng d’’ đi qua A”(9; 11) và nhận \(\vec n = \left( {1;6} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là:

\(1.\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}9} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}6.\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow x{\rm{ }} + {\rm{ }}6y{\rm{ }}-{\rm{ }}75{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)